Разрезание доски 14х14

[Пумба]

Можно ли доску вроде шахматной, размером 14х14 клеток, всю, без остатка, разрезать на набор прямоугольников размером 1x4?

[Artem of 93]

Нет, это невозможно. Всегда будет оставаться квадрат со стороной, равной 2. Пример на рисунке ниже.

[hripunov]

Доказать невозможность можно методом раскраски: представим доску раскрашенной в "укрупненную шашечку": как  раскраска шахматной доски, но каждая черная или белая клетка имеет размер 2х2. При разрезании такой доски на детальки 1х4 каждая деталька будет содержать две черных и две белых клетки.  А при этой укрупненной раскраске количество клеток  каждого цвета будет 100 и  96, т. е неравные количества.

[Пумба]

Ответы у вас правильные, но зачем рисовать доску, закрашивать клетки? Здесь есть решение по проще.

[Stanislav]

В прямоугольнике со сторонами, кратными 4 полная заполняемость отрезками 1х4 и нет ограничений на компановку. Квадрат 14х14 добавляет с каждой стороны 2 "лишних" клетки. Получаем лишнюю пустую область, которую заполнить можно только одним способом - поперек соответствующей оси координат. Таким образом всегда останется область 2х2.
Так же, если бы задача была не про 14х14, а про 13х15, то всегда бы оставался прямоугольник 1х3.

[Ygrek]

Stanislav, vashe do-kvo ne vseobjemljuschee. Ono ispoljzuet dlja demonstracii lishj odin konkretnij variant zapolnenija, no ne dokazivaetsja, chto pri ljubom variante zapolnenija budet ta zhe samaja situacija.

U hripunova dok-vo ne ispoljzuet nikakoe konkretnoe zapolnenie, poetomu dok-vo hripunova universaljnoe (univer + saljnoe).

[Ygrek]

Похоже, там идея док-ва в том, что поля АхА, которые можно покрыть полосками 1х4 должны удовлетворять условию типа:

√(АхА/4) = чётное натуральное число.

Или, другими буквами,

А/2 = чётное натуральное число.

В данном случае
√(14х14/4) = √49 = 7 - это нечётное.

Или, другими буквами,

14/2 = 7 - нечётное число.

Мдя, бред какой-то. Из такого условия получается, что А просто должно тупо делиться на 4. Неостроумно.

[hripunov]

Еще есть довольно универсальный способ доказательства: раскрасим клетки параллельными диагональными рядами в 4 цвета. Тогда каждая вырезанная фигурка 1х4 будет содержать все 4 цвета. Но при  этом на поле разное количество клеток  одного цвета по отношению к клеткам другого цвета.

[Ygrek]

Еще есть довольно универсальный способ доказательства: раскрасим клетки параллельными диагональными рядами в 4 цвета. Тогда каждая вырезанная фигурка 1х4 будет содержать все 4 цвета. Но при  этом на поле разное количество клеток  одного цвета по отношению к клеткам другого цвета.

Так чо, мой критерий, что "А просто должно тупо делиться на 4", получается, правильный что ли?

[Ygrek]

Еще есть довольно универсальный способ доказательства: раскрасим клетки параллельными диагональными рядами в 4 цвета. Тогда каждая вырезанная фигурка 1х4 будет содержать все 4 цвета. Но при  этом на поле разное количество клеток  одного цвета по отношению к клеткам другого цвета.

Этот способ поистине универсальный -
1) он не привязан ни к какому способу заполнения (вообще их не рассматривает);
2) он не привязан ни к какому размеру поля (для любого размера поля применим);
3) он масштабируется на фигурки любой длины - добавляем цветов и можно применять к 3-клеточным, 5-кл., 6- кл. и т.д..

Так же он доказывает простой критерий необходимости и достаточности кратности длины стороны поля длине фигурки.

[Пумба]

Итак, если доску разрезать можно, то получится 49 прямоугольников (по закону сохранения площади). Так вот то, что число прямоугольников - нечётное, интуитивно говорит о том, что есть какое-то противоречие, но какое именно?...🤔
 
 Из того, что число прямоугольников - нечётное, следует, что у нас дисбаланс между вертикально и горизонтально ориентированными прямоугольниками: одних нечётное кол-во, а других - чётное.
  Итак, пусть у нас нечётное кол-во вертикальных прямоугольников и чётное - горизонтальных. Ну, а если наоборот, то просто поворачиваем доску на 90°, сводя ситуацию к предыдущей.
  Так вот в том, что число вертикальных прямоугольников - нечётное, скрыт другой дисбаланс: если мы рассмотрим клетки, съеденные вертикальными прямоугольниками, то там дисбаланс между числом клеток с чётными и нечётными гозиронтальными координатами -  будет как минимум на четыре больше.
  Вот может ли быть этот дисбаланс скомпенсирован горизонтальными прямоугольниками? - Не может, так как каждый горизонтальный прямоугольник съедает две клетки с чётными горизонтальными координатами и две клетки с нечётными.
 
Такой закон сохранения площади оказался нарушен. Так что нельзя разрезать.

[StrannikPiter]

Ответы у вас правильные, но зачем рисовать доску, закрашивать клетки? Здесь есть решение по проще.

Как на мой вкус, так у Хрипунова доказательство проще и нагляднее. 

[Stanislav]

Решил задачу для более общего случая. Пусть n - число горизонтальных прямоугольников по одной линии (в ряду или столбце), m - число вертикальных прямоугольников, тоже, в ряду или столбце. Тогда должно выполняться уравнение для любого ряда: 4n+m=14. А для любого столбца: n+4m=14. Совместно их решать нельзя, они дают следующий смысл: в каждом ряду может быть только четное число вертикальных прямоугольников, а в каждом столбце - четное число горизонтальных прямоугольников. Таким образом, набор всей фигуры идет виртуальными прямоугольниками 2х4. Его площадь равна 8. Площадь всей фигуры 14*14=196. 196/8=24,5. Таким образом, набрать квадрат 14х14 прямоугольниками 1х4 нельзя.
P.S. Квадраты со стороной (например, 20), пропорциональной прямоугольнику (например, 5), набираются виртуальными квадратами, сторона которого равна длине прямоугольника (т.е., 5). Количество и вертикальных и горизонтальных прямоугольников, вписанных в большой квадрат, всегда будет кратным длине прямоугольника. Там формула такая: 5n+m=20