Наконец-то дошли руки до решения этой задачи. Как хрипунов правильно предположил, для "классических" "физиков" (т.е. тех, кто ходил в обычную школу ~ 35-40 лет назад) эта задача не представляет сложностей и решается стандартно. Сам хрипунов, как я и ожидал, привнёс в решение оригинальные остроумные геометрические находки и видение, как это было в задаче про яйцо на склоне горы. Я же не стал никак оригинальничать (да и вряд ли смог бы, даже если бы захотел), и решил тупо по-школьному.
Способ первый - более физический, чуток геометрический.
Пара правил физики.
1) Ньютон. Если тело не двигается (поступательно), то значит это труп. Это также значит, что сумма сил равна нулю. При этом сумма проекций сил, как по х, так и по у, равны нулю.
Это даёт нам такое уравнение для горизонтальных проекций сил n и N:
n∙cos2α = N∙sinα (1)
2) Рычаги. Если тело не двигается (вращательно), то значит это труп. Это также значит, что сумма моментов сил (и проекций моментов) относительно любой оси равна нулю.
Это даёт нам такое уравнение для моментов сил n и N относительно центра массы пестика:
n∙sinα∙L/2 = N∙(2R∙cosα - L/2) (2)
В (2) в скобках - это длина плеча силы N, т.е. отрезка CB.
Уравнения (1) и (2) составляют систему, которую надо решить. Преобразуем её к виду:
K∙cos2α = sinα (1)
K∙sinα∙L/2 = 2R∙cosα - L/2 (2)
где K = n/N. Подставляем К из (1) в (2), заменяем cos2α и sinα на cosα и получаем квадратное уравнение как у спирта:
8R∙cos2α - L∙cosα - 4R = 0.
==================================================
Способ вторый - чуток физический, чуток геометрический и много диффиренциальный.
Пестик займёт такое положение в ступке, при котором его центр масс будет находиться максимально низко.
Вычислим нижину h центра масс пестика в зависимости от α:
h = |СВ|∙sinα = (2R∙cosα - L/2)∙sinα (3)
Берём производную от (3) по α и приравниваем её нулю:
[(2R∙cosα - L/2)∙sinα]' = 2R(cos2α - sin2α) - (L/2)∙cosα =0
Заменяем sin2α = 1 - cos2α и получаем такое же квадратное уравнение
8R∙cos2α - L∙cosα - 4R = 0.
==================================================
Данное квадратное уравнение имеет два корня, соответствующие минимуму и максимуму и соответствует острому углу α (мин) и тупому (макс) (см. рис.2). В нашем случае корень для тупого угла α в полукруге не реализуем.
Вопрос к ув. тов. хрипунову. Почему ув. тов. хрипунов в ответе выбрал именно корень со знаком "+"?
Кстати, я сначала думал, что два корня кв. ур. соотв. минимуму и максимуму на траектории центра палки (красные точки). Но оказалось, что только корень со знаком плюс соответствуем минимуму, а корень со знаком минус я так и не понял, чему соответствует.
================================================
Условию задачи в смешной формулировке хрипунова соответствует ещё одно положение пестика - стоять вертикально вверх. Только оно не устойчивое.
