Эллипс и прямая

[Race]

Так как мы научились однозначно определять точки пересечения параболы заданной пятью точками и прямой, то у меня возник вопрос можно ли это выполнить и для эллипса с гиперболой и так:

Задача №1.
На плоскости пятью точками задан эллипс и пересекающая его прямая. При помощи циркуля и линейки построить точки пересечения эллипса и прямой.

Задача №2.
С гиперболой я совершенно не знаком, потому прошу более опытных соучастников уточнить формулировку. На плоскости посредством n точек задана гипербола и пересекающая ей прямая. При помощи циркуля и линейки определить точки пересечения гиперболы и прямой.

[hripunov]

Так как мы научились однозначно определять точки пересечения параболы заданной пятью точками и прямой, то у меня возник вопрос можно ли это выполнить и для эллипса с гиперболой и так:

Задача №1.
На плоскости пятью точками задан эллипс и пересекающая его прямая. При помощи циркуля и линейки построить точки пересечения эллипса и прямой.

Задача №2.
С гиперболой я совершенно не знаком, потому прошу более опытных соучастников уточнить формулировку. На плоскости посредством n точек задана гипербола и пересекающая ей прямая. При помощи циркуля и линейки определить точки пересечения гиперболы и прямой.

Ну , конечно же можно!
Есть даже способ, который не обязывает определять тип конического сечения - просто строишь точки пересечения,даже на распознавая  , с чем эта прямая пересекается.
А есть другой путь - сначала определить тип сечения , найти оси, фокусы, и пр., а потом построить точки пересечения.

[Race]

Если с параболой более менее разобрались, а именно свели задачу к касанию окружностей и прямых, так как каждая точка параболы равноудалена от прямой и точки, то к эллипсу и гиперболе я даже не знаю с какой стороны и подступиться... Так как там сумма и разность расстояний до фокусов... А к чему их можно свести при построении я не знаю... Теорию тоже не могу найти.

[hripunov]

Если с параболой более менее разобрались, а именно свели задачу к касанию окружностей и прямых, так как каждая точка параболы равноудалена от прямой и точки, то к эллипсу и гиперболе я даже не знаю с какой стороны и подступиться... Так как там сумма и разность расстояний до фокусов... А к чему их можно свести при построении я не знаю... Теорию тоже не могу найти.

Разумеется, проще всего трансформировать эллипс  в окружность  афинным растяжением - вместе с заданной прямой, найти точки пересечения и вернуть все  обратно.
Для этого нужно сначала найти большую и малую оси.
В задаче про параболу мы научились находить диаметр параболы, который всегда  параллелен оси параболы - поэтому мы научились искать ось параболы.
В случае эллипса мы точно таким же способом можем найти диаметр эллипса, потом  еще один диаметр эллипса. Два диаметра пересекаются в центре эллипса, таким образом, найден центр... Ну и т.д.  Как искать оси я уже не буду рассказывать, а то никому  неинтересно будет искать решение.

[hripunov]

Что-то задача с эллипсом подзатухла. Вероятно, дело в том, что ход решения участникам принципиально понятен,  а чертить неохота.
Предлагаю задачу с меньшим обилием линий и промежуточных этапов построений:
Восстановить фокусы эллипса , если задан параллелограмм, в который этот  эллипс  вписан, касаясь середин сторон.

[Tugrik]

Восстановить фокусы эллипса , если задан параллелограмм, в который этот  эллипс  вписан, касаясь середин сторон.

Геометрическое решение.