Вписать треугольник

[Race]

Нарыл задачку.
На мой взгляд достаточно интересная.
Сам жалею что сразу решение прочел.... Эх.


На плоскости задана точка Х из которой выходит 3 луча a, b и c.
Вписать в получившуюся конструкцию заданный треугольник АВС, учитывая что т. А принадлежит а, В - b и С -с.
Приятного решения.

[hripunov]

Эту задачу я встречал чуть в другой интерпретации: вписать в данный треугольник данный трилистник. Это совершенно то же самое  условие, только с другой "системой отсчета".
Решить можно так: опираем два луча трилистника на сторону треугольника, строим окружность, в которую угол из этих двух лучей вписан, находим точку пересечения третьего луча с этой окружностью - и соединяем найденную точку со свободной вершиной треугольника....
 

[Race]

Да, решение аналогичное) ваша задача называется великой задачей топологии, по имени дядьки на Б. Заключается в определении положения объекта (к примеру судна) в пространстве, по трем фиксированным меткам (маякам) .
Думаю, давно решена и объемная версия, но общественность в известность про это не ставят.

[Ygrek]

Нарыл задачку.
На мой взгляд достаточно интересная.
Сам жалею что сразу решение прочел.... Эх.


На плоскости задана точка Х из которой выходит 3 луча a, b и c.
Вписать в получившуюся конструкцию заданный треугольник АВС, учитывая что т. А принадлежит а, В - b и С -с.
Приятного решения.

Задача оказалась довольно лёгкая.

Пусть треугол задан тремя отрезками: красным, зелёным и синим.

Я сделал копии заданных лучей в нижнюю часть рисунка и на них сделал предварительное построение самого главного фиолетового отрезка, показывающего своею длиной на сколько должен отстоять конец красного отрезка от точки Х.

1) В нижней части рисунка, между нижним и средним лучами ставим произвольным образом красный отрезок.
2) Через концы этого красного отрезка и через точку X' ставим чёрный круг по этим трём точкам.
3) От верхнего и нижнего концов красного отрезка ставим, соотв., синий и зелёный круги с радиусами равными синему и зелёному отрезкам, соотв..
4) Ставим прямую АВ и её пересечение с чёрным кругом даст фиолетовый отрезок.
5) В верхней части рисунка ставим фиолетовый круг с радиусом равным длине фиол. отрезка из нижней части рисунка. Это даст нам положение нижнего конца красного отрезка искомого треугла.
Дальше просто доделать.

[Race]

Ох... Ваши решения даже с пояснениями понять не могу((( Буду разбираться. спасибо. Я знаю только решение а-ля hripunov.

[Ygrek]

Ох... Ваши решения даже с пояснениями понять не могу((( Буду разбираться. спасибо. Я знаю только решение а-ля hripunov.

Да, я там повыкидывал несколько линий, оказавшихся не обязательными. С ними было бы проще понять. Вот, черновик до выкидывания необязательных линий.

Суть там в том, что при движении точки Х₁ по чёрному кругу между точками Х и Х₂ углы сохраняются. А когда луч из Х₁ вдруг проходит через точки А и В (когда Х₁=Х₂) - это как раз то, что нам надо.

[Race]

Любитель-математик не поймет профи-физика.
Вы можете идею саму высказать, а не перечислить кучу следствий? Не первый раз замечаю у Вас подобную манеру изложения информации.

На мой взгляд логично и должно излагать в такой форме:

1. Идея - если необходимо шаги построения.

У Вас же - шаги построения, идея промежуточного построения.

На мой взгляд Вы вместе с г-м Колмагоровым могли бы заниматься реформой математики, так как целью Колмагорова, на мой взгляд, было сделать математику непонятной и недоступной широкому кругу, то Вы бы, опять же на мой взгляд, вполне бы справились с данной задачей.

[hripunov]

Теперь можно попробовать не только вписать, но  и описать треугольник:

На плоскости задан треугольник и точка внутри него. Из точки выходят три луча, каждый из которых пересекает сторону треугольника так, что каждая сторона пересечена одним лучом. Построить треугольник с вершинами, лежащими на лучах, описанный вокруг заданного треугольника (стороны описанного треугольника касаются вершин вписанного)

[Ygrek]

Теперь можно попробовать не только вписать, но  и описать треугольник:

На плоскости задан треугольник и точка внутри него. Из точки выходят три луча, каждый из которых пересекает сторону треугольника так, что каждая сторона пересечена одним лучом. Построить треугольник с вершинами, лежащими на лучах, описанный вокруг заданного треугольника (стороны описанного треугольника касаются вершин вписанного)

Со мною редко такое бывает, но эту решил за 1 минуту. Старая злая ПГ. ПГ - это ПоГанка.
Идея в том, что представить, что вершины заданного треугла лежат на трёх плоскостях, заданных показанными тремя лучами. Типа прислонили воздушного змея к стенам в углу комнаты.

P.S. Посмотрел, там можно еще проще сделать, еще меньше чирков будет. Там верхнее ребро треугла тоже через точку X проходит (один чирок из верхнего ребра сразу в точку X вместo, например, трех зеленых), так что нa 2 чирка меньше будет. И всего 7 чирков будет. Но это - менее методичный подход.

[Race]

Ygrek,
Очень красиво, спасибо

[hripunov]

Ygrek, верно !
Решений, естественно,  много.   
Только до ПГ эта задача не дотягивает.  Это скорее НГ.
Если интересует задача, которую можно решить именно методами  проективной геометрии, то можно примерно так повернуть условие:

Даны два треугольника: один расположен внутри другого. Построить треугольник, вписанный в больший и описанный около меньшего.

[Race]

Для первой задачи hripunov можно обойтись и без НГ.
Для такого решения вполне хватит азов стереометрии, а именно первого полугодия 10 класса, ведь именно тогда учащийся знакомится с методом следов.

Первое решение более наглядное. Не более того, при втором можно обойтись без циркуля.

[hripunov]

 . Race, и так можно, и еще способы есть. Не знаю, как там насчет стереометрии 10 класса, а в мою бытность школьником такая задача вполне могла бы быть  по черчению в 8 классе. По крайней мере на олимпиаде по черчению ( раньше и такие были) посложнее задачи выкладывались. На стыке черчения и НГ.

А вот если  даны  четырехлучник и четырехугольник ?

[Race]

Такая задача, с точки зрения школьной геометрии (именно метода следов) не всегда разрешима.

Поясню ход решения.
Идея:
Воображаем что имеем дело с тетраедром, каждая точки принадлежит одной грани тетраедра.
Требуется построить след плоскости заданой вершинами треугольника на грани тетраедра (искомый треугольник).
Построение:
Проецируем две точки на одну из граней тетраедра, так как все точки, по условию принадлежат граням, то их проекции априори принадлежат ребрам.
Строим прямые которые проходят через выбранные 2 точки и их проекции, эти прямые пересекутся в точке Р на следе который получается пересечением плоскостью а(АВС) плоскости проекции.
Соединяем точку Р с третьей точкой, получаем пересечение следом двух других ребер.
Дальше думаю понятно.

Если же представим 4 точки и четырехлучевик, то получим четырехугольную пирамиду.  При таком подходе для любых трех точек можно построить след пересечения ею плоскости пирамиды, но этот след совсем не обязательно пройдет через 4 точку.

Это не доказывает невозможность такого построения, просто нужно думать, применить другой подход, тут не подойдет прямой перевод 2Д изображения в 3Д, не более того.

случайно в ваш ответ набирал, вы уж извините

[Race]

Вот привел пример для четырехлучевика,
Для более наглядного восприятия я специально ориентировал лучи в одну сторону и приделал пирамиде дно. Это совсем не обязательно.

По умолчанию плоскость задается тремя точками, если мы делаем допущение что каждая точка принадлежит грани, то четвертая точка будет принадлежать грани, только в том случае если будет находиться на следе плоскости ABC(D).