Кот и квадрат

[Artem of 93]

По квадратному полю ABCD, где AC - диагональ, ходит кот. Он начинает движение из точки A, проходит 500 метров в одном направлении и останавливается, после чего вновь продолжает движение: опять проходит 500 метров либо в том же направлении, либо в другом. И так далее.

На каждой точке остановки кот с равной вероятностью выбирает один из нескольких вариантов направлений дальнейшего движения следующим образом: он проходит 500 метров либо по любой стороне квадрата ABCD либо в направлении, параллельном любой стороне квадрата ABCD, но он не проходит два раза по одному и тому же отрезку пути, и он не выходит за границы квадрата ABCD. Также известно, что кот засыпает после того, как пройдёт 2 км.

Чему равна вероятность того, что кот дойдёт из точки A в точку C, не заснув, при условии, что площадь квадрата ABCD равна 1 км²?

[Леонид]

5/12?

[Artem of 93]

5/12?

Как считали?

[Леонид]

5/12?

Как считали?

Как-то так.
Первый шаг - вверх или вправо - не играет роли, т.к. результаты симметричны, я считал через вверх.

[Artem of 93]

Как-то так.

Леонид, не совсем понял Ваш чертёж.

[снн]

Если не ошибаюсь, кошак может добраться до точки С 6 способами. Не дойти - 42мя. Т.е. вероятность тряхнуть  Наташу =6/42=1/7.

[Artem of 93]

Если не ошибаюсь, кошак может добраться до точки С 6 способами. Не дойти - 42мя. Т.е. вероятность тряхнуть  Наташу =6/42=1/7.

Нет, не верно. Про 6 способов верное рассуждение.

[снн]

А неверно в большую или меньшую сторону?

[Artem of 93]

А неверно в большую или меньшую сторону?

Давайте я не буду отвечать на этот вопрос, а дам другую подсказку.

Кот дойдёт до точки C, если пойдёт хотя бы по одному из 6 путей, но вероятность прохождения каждого пути разная.

[Artem of 93]

5/12?

Да, Леонид, абсолютно верно! Я забыл приплюсовать одну дробь и меня получилось чуть меньше. Поэтому долго не мог сообразить, у кого ошибка.

Чтобы не лишать возможности снн порешать, пока не выкладываю решение.

[Леонид]

Ну и отлично, а я, чтобы не лишать возможности снн, не буду объяснять чертёжик, с которым решал, тем более что это займёт в несколько раз дольше, чем заняло решение.

[Artem of 93]

У меня получился ответ, который можно записать в виде десятичной дроби. Это получилось из-за того, что я забыл приплюсовать дробь:

1/24

И у меня вышло в ответе:

9/24 = 3/8 = 0,375

[снн]

Вероятность попасть на верный путь из точки А=1.
На 1й остановке вероятность двигаться в верном направлении = 2/3.
На 2-й остановке (либо В, лобо центр квадрата "О") равна 1/2.
На 3-ей остановке вероятность добраться до т.С равна 1/3.
Т.о.  1*2/3*1/2*1/3 =1/9

[Artem of 93]

Вероятность попасть на верный путь из точки А=1.

Из точки A за 4 отрезка можно попасть куда угодно. Дальнейшие рассуждения также неверны по аналогичным соображениям. Раз Леонид свой верный ответ выложил, но спрятал, сделаю так же. Публикую решение, если не хотите - не смотрите.

Во-первых, очевидно, что так как площадь квадрата ABCD равна 1 км², это значит, что его стороны равны 1 км или 1000 м.

Далее для наглядности изобразим чертёж (рисунок прилагается ниже). Точки A, B, C, D, E, F, G, H, M - точки возможных остановок кота. Точки E, F, G, H - это середины сторон квадрата, так как кот проходит за один отрезок пути 500 метров.

Чтобы не заснуть, коту нужно пройти 4 таких отрезка. Есть 6 вариантов пути с четырьмя отрезками, которые ведут к точке C:

AEMGC
AEMHC
AFMHC
AFMGC
AEBHC
AFDGC

Найдём вероятность прохождения котом каждого из 6 путей.

Вероятность того, что кот пойдёт по пути AEMGC, равна произведению вероятностей того, что кот последовательно пойдёт по отрезкам AE (вероятность равна 1/2, потому что из точки A только два пути), EM (вероятность равна 1/2), MG (вероятность равна 1/3), GC (вероятность равна 1/2). Следовательно, P_AEMGC = 1/2*1/2*1/3*1/2 = 1/24

Аналогичным образом найдём вероятности других пяти путей:

P_AEMHC = 1/2*1/2*1/3*1/2 = 1/24
P_AFMHC = 1/2*1/2*1/3*1/2 = 1/24
P_AFMGC = 1/2*1/2*1/3*1/2 = 1/24
P_AEBHC = 1/2*1/2*1*1/2 = 1/8
P_AFDGC = 1/2*1/2*1*1/2 = 1/8

Вероятность того, что кот дойдёт в точку C будет равна сумме полученных вероятностей, так как кот должен пойти по любому из шести вариантов пути.
Таким образом, искомая вероятность составит:

1/24 + 1/24 + 1/24 + 1/24 + 3/24 + 3/24 = 10/24 = 5/12

[снн]

"EM (вероятность равна 1/2)"- почему же? Вероятность пройти по этому отрезку=1/3 ( кот может вернуться в точку А)