Разделить четырехугольник

[Race]

На плоскости задан выпуклый четырехугольник  ABCD и произвольная прямая  а.
При помощи циркуля и линейки разбить четырехугольник на две равновеликих части прямой a', такой что а ll a'.

[hripunov]

Здесь  есть два  радикально разных варианта конфигурации.
Первый: Прямая заданного наклона может отсекать   от четырехугольника треугольник  заданной  площади. В таком случае  задача легко решается циркулем и линейкой. 

И совсем другое дело  вариант 2: случай, когда   прямая делит четырехугольник на 2 равных по площади четырехугольника.   Тут надо крепко подумать; и я не уверен, что есть решение циркулем и линейкой.

[Race]

Спасибо, с треугольником, по подобию, смогу решить, с четырехугольников, растерянность)

[hripunov]

 Race, немного поразмыслив   над вторым случаем, я   осознал, что решений циркулем и линейкой здесь  целая куча.  Правда, мне дались только решения из серии " кройка и шитье".  Наверняка тут есть какие-нибудь чистые и лаконичные.  Приведу одно :

1)Сначала делим четырехугольник надвое красной прямой, выходящей из угла . ( Т.к. заведомо будет отсечен треугольник, это построение элементарно: основание известно,  площадь известна, высоту определяем  графически).
2) Имея все наклоны сторон и направление заданной секущей , строим   два равных по площади треугольника у которых известны все углы . (афинные искажения нам в помощь, результат справа внизу на рисунке). Треугольники являются боковыми треугольниками некоторой трапеции пока произвольного размера, отсеченные  ее диагоналями.
3) Методом гомотетии придаем  системе законченный вид, где секущая занимает свое истинное положение.

[Race]

Race, немного поразмыслив   над вторым случаем, я   осознал, что решений циркулем и линейкой здесь  целая куча.  Правда, мне дались только решения из серии " кройка и шитье".  Наверняка тут есть какие-нибудь чистые и лаконичные.  Приведу одно :

1)Сначала делим четырехугольник надвое красной прямой, выходящей из угла . ( Т.к. заведомо будет отсечен треугольник, это построение элементарно: основание известно,  площадь известна, высоту определяем  графически).
2) Имея все наклоны сторон и направление заданной секущей , строим   два равных по площади треугольника у которых известны все углы . (афинные искажения нам в помощь, результат справа внизу на рисунке). Треугольники являются боковыми треугольниками некоторой трапеции пока произвольного размера, отсеченные  ее диагоналями.
3) Методом гомотетии придаем  системе законченный вид, где секущая занимает свое истинное положение.

Как обычно, просто чудо, попробую разобраться, большое спасибо!.

[Race]

hripunov,
так как я не знаю что такое аффинное искажение, то решил задачу с двумя равновеликими треугольниками используя школьную программу:

Пусть СВ и ДЕ параллельны сторонам четырехугольника, ЕС параллельно прямой делящей его на 2 равновеликие части, а ДВ параллельно прямой которой требуется уравновеличить рассеченные части.

Порядок построения:
Чертим произвольный треугольник АВС, все углы нам известны. На продолжении прямой АВ откладываем отрезок |AD|=|AB|.
Строим прямую DE, угол наклона нам известен, получаем точку Е как пересечения с продолжением АС.
Находим среднегеометрическое отрезков ЕА и АС, это и будет сторона нашего искомого треугольника, доказательство:
Предположим что мы построили треугольник AMN равновеликий АВС, тогда получаем:
MA*AN=AB*AC (1)
DA/AE=MA/AN    MA=(DA*AN)/AE (2) так как построенный нами треугольник ADE подобен AMN
(2)-> (1)
AN^2=(AC*AB*AE)/DA но изначально мы применили колдунство DA=AB => AN^2=AC*AE.

[hripunov]

Да, Race,   одними афинными искажениями тут не обойтись. Среднегеометрическое все равно строить  придется.   Разумеется,   каждый этап может быть решен различными методами  (  мы на этом форуме   их не  раз применяли) ...

[Race]

hripunov, спасибо за Ваши решения. Я очень люблю геометрию, а благодаря Вам открываю все новые и новые грани этой прекрасной дисциплины.

[Tugrik]

Как я понимаю, решать задачу из
www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,12210.0.html
методом из
www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,12252.msg89625.html#msg89625
никто не собирается. Поэтому я решил сам, чтобы закончить тему.

===============================

Ход построения.

1) Достраиваем слева от заданного розового 4-угольника ABCD голубой треугол GAD.

2) Справа от заданного розового 4-угольника ABCD достраиваем голубой треугол BCH равновеликий треуглу GAD. Необходимую для этого длину |BH| находим построив подобные треуглы справа. Так получили треугол GCH.

3) Теперь нам надо построить треугол GFK площадью в половину площади GCH и со стороной FK параллельной заданному направлению “direction”. Иными словами, площадь должна быть равна половине от h_C∙|GH|/2. Всё, что мы знаем о треугле GFK – это все его углы и площадь.

  Тут могут быть разные способы построения треугла GFK, в том числе и неоправданно сложный и реализованный здесь выше кандидатом в кандидаты наук Race в
www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,12210.msg89184.html#msg89184 .

Теперь, попробуйте пока не читать далее и самостоятельно придумать свой способ построения треугла GFK или обосновать предложенный на рисунке.

Чисто для разнообразия и простоты, я делал так:

4) Строим пробный треугол подобный искомому GFK. Пусть это будет GCZ с такой же высотой h_C как и у GCH. Его площадь будет во столько раз больше, чем требуемая 0.5∙h_C∙|GH|/2, во сколько раз отрезок |GZ| больше отрезка |GH|/2. Площади подобных фигур пропорциональны квадрату их линейных размеров. Т.е. квадраты оснований подобных искомого треугла GFK и пробного треугла GZC относятся как их площади: 

|GF|² / |GZ|² = S_GFK / S_GZC = 0.5∙h_C∙|GH|/2 / (h_C∙|GZ|/2) = |GH|/2 / |GZ|     =>

|GF|² = |GH|/2 ∙ |GZ|

Т.е. надо построить среднее геометрическое от |GH|/2  и |GZ| и т.о. найти длину |GF| и положение точки F. Из точки F ведём параллель дирекшэну.

[hripunov]

Как я понимаю, решать задачу из
www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,12210.0.html
методом из
www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,12252.msg89625.html#msg89625
никто не собирается. Поэтому я решил сам, чтобы закончить тему.

Тугрик,  ну ведь уже упомянуто , что  для решения задачи  тут куча способов; в т.ч.  есть такие, которые не требуют никаких "средних геометрических"...

[Race]

Tugrik, я в другой теме решение выложил, Ваши решения, безусловно, корректны, но в них, извиняюсь, без поллитры не разберешься, потому я выложил свое, красиво и главное понятно оформленное!