Разделить четырехугольник 2

[hripunov]

 Дан выпуклый четырехугольник  ABCD и отрезок  заданной длины.  Расположить отрезок так, чтобы один конец находился  на стороне АВ, другой на стороне СD,  и чтобы отрезок разделял прямоугольник на две равновеликие части.  Пусть  длина  отрезка задана такая, что построение возможно.

[снн]

Измерить циркулем отрезок. Затем найти середину стороны АВ (первый конец заданного отрезка) и построить из нее дугу радиусом с измеренный отрезок. В месте пересечения дуги со стороной СD - второй конец заданного отрезка.

[Race]

Насколько мне кажется, не сфунциклирует)))
Предположим что задано 3 отрезка различной длины, если использовать Ваше построение, то один конец всех трех отрезков расположится одинаково, второй же будет располагаться в различных местах на СД, соответственно все три отрезка разделят четырехугольник на четырехугольники разных площадей, соответственно есть только один отрезок для которого Ваше решение будет удовлетворять условию, но то что именно он будет задан достаточно маловероятно.

[снн]

вернее, сторона СD должна быть касательной к дуге.

[Race]

вернее, сторона СD должна быть касательной к дуге.

к какой дуге?

[снн]

Я как рассуждала: если продолжить стороны ВС и АD и место их пересечения обозначить точкой О, а середину АВ обозначить как Е, то ОЕ - медиана треугольника АВО, разделяющая его на 2 равновеликих. Сторона четырехугольника СD отклоняется от прямой, параллельной АВ, на определенный угол, не позволяющий медиане  поделить его на 2 равновеликих. Поэтому и надо искать точку пересечения отрезка со стороной СD, отклоняя его от медианы.

[Race]

Я тоже размышлял в этом направлении, но, к сожалению, ни к чему не пришел.

[Race]

промолчу сколько я уже времени мучаю эту задачу. Построил модель в геогебре, посредством чего определил что задача может иметь 2 решения для АВ и возможно два отличных решения для СД, которые могут совпасть, но это не точно.
Анализ произвел для стороны АВ, для СД поленился. К сожалению данный анализ не является строгим геометрическим решением.

[Race]

Проверил для СД, решений может быть максимум 2.

[hripunov]

Проверил для СД, решений может быть максимум 2.

Раце, есть относительно простой способ построения, и , найдя, или узнав его, решающий наверняка будет  говорить сам себе: " и как это я не додумался! ".   СНН, Продление сторон до пересечения - верная мысль, только надо свести  именно нужные стороны.

[Tugrik]

Я уже наполовину сделал другое решение, но пока ехал на работу, подумал, что можно сделать так:
1) Дополняем заданный розовый 4х-угольник ABCD слева и справа равновеликими синими треугольниками. Это очень легко. Получаем треугольник GCH.
2) Теперь нам надо построить штрихованный треугольник GKF  в половину площади GCH. Угол альфа и противная сторона KF известны.
3) Как функцию длины отрезка GL находим высоту h. Найдя h найдем LF  и так найдем GF. Приравняем площадь GKF половине GCH и так найдем нужную  GL.


P.S. Также, кстати, можно решить и предыдущую задачу из
http://www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,12210.0.html,
хотя сам я её решил метедом "с точностью до наоборот" - не добавлял, а урезал:
http://www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,11475.msg89152.html#msg89152

[Race]

Tugrik, как же бедно я мыслю, спасибо, задали мне ряд дополнительных задач, буду разбираться.
 

Понял где логическая нестыковка, именно в пункте 3, где два раза ДжиЭль находим), как обычно ничего не объясняет (хотя считает что объясняет), тем интереснее будет найти реализацию данного решения самостоятельно.

Ну и как любит пан Тугрик, добавлю ложку дегтя в его кружку с элем, а именно: пропущено второе решение 

[Tugrik]

То, что я написал выше в 3-м пункте - это вообще не думая, на ходу, будучи на работе и прячась от начальничка. А по дороге домой сообразил, что:

На самом деле построить заштрихованный треугольник GKF можно намного проще и без алгебры.
У нас для него есть площадь и одна сторона. Значит находим высоту на эту сторону. И задача сводится к детской задаче о построении треугла по стороне, высоте на неё и противному ей углу. Очень фотогеничное решение (оба решения, ибо их два) получается в итоге. Осталось только всё это нарисовать.


П.С. А задача из
 www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,12210.0.html
этим методом ещё проще решается. Особенно, если использовать предложенный мною в
www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,11475.msg89152.html#msg89152
переброс кусков заданного 4-угольника на одну сторону. Метод хрипунова, предложенный там, очень, как Вы его справедливо назвали, чудесный, но получается сложнее.

[hripunov]

Tugrik, ,  решение верное.
Задача, хоть и выглядит на первый взгляд  сложной, решается методами "кройки и шитья" уровня   8-9 классов школы.   Даже без  построения квадратных корней ( как  было в задаче Race). 
Представляю   одно из  решений ( простейшие операции опущены  для лаконичности). Просто помним, что у двух треугольников или прямоугольников одинаковой площади  ширина одного во столько раз меньше, во сколько больше высота.
   

[Race]

Решение hripunov полностью понял, с решением Tugrik'a буду разбираться.
Всё таки в кройке и шитье я Вам обоим в подметки не гожусь.

И так крутил и этиак окружность, радиус которой можем определить из т-мы синусов, но применить не смог. Всё таки головоломки это не моё, но очень интересно.

То, что я написал выше в 3-м пункте - это вообще не думая, на ходу, будучи на работе и прячась от начальничка. А по дороге домой сообразил, что:

На самом деле построить заштрихованный треугольник GKF можно намного проще и без алгебры.
У нас для него есть площадь и одна сторона. Значит находим высоту на эту сторону.

Какая конкретно сторона есть?