Найти длину короткой биссектрисы треугольника со сторонами 4, 5, 6

[Tugrik]

Задача: Найти длину самой короткой биссектрисы треугольника со сторонами, равными 4, 5 и 6.

Задача из Интернета, но я тамошнее решение пока ещё не смотрел. Решил сам через тригонометрию и ещё другим менее тривиальным, но не чисто геометрическим способом.

Задача решается с помощью тригонометрии очень просто. Поэтому просьба решить каким-нибудь другим способом, не использующим тригонометрию. Чисто геометрическим способом тут вряд ли получится решить, ибо в условии заданы именно конкретные специальные числа. Но, чем более геометрическим будет способ, тем лучше.

[SRash]

Задача решается с помощью тригонометрии очень просто. Поэтому просьба решить каким-нибудь другим способом, не использующим тригонометрию. Чисто геометрическим способом тут вряд ли получится решить, ибо в условии заданы именно конкретные специальные числа. Но, чем более геометрическим будет способ, тем лучше.

Есть несколько формул, которые определяют длину биссектрисы. В некоторых пользуются тригонометрия, а некоторые доказываются через тригонометрии. Я думаю что, следующую формулу можно использовать. Для доказательства этой формулы не применяется тригонометрия. Описывается окружность, дальше подобие треугольников и свойства пересекающихся биссектрис. "Квадрат биссектрисы треугольника равен разности между произведением двух его сторон и произведением отрезков, на которые эта биссектриса делит третью сторону." Стороны известны. Длины отрезков найдем применяя свойства биссектрисы. Значения всех биссектрис можно сравнивать. Но лучше применить свойство что, в треугольнике большей стороне соответствует меньшая биссектриса.

[Tugrik]

Спасибо за ваше решение!

Я не великий знаток геометрии (да и математики вообще), а лишь досужий любитель, и я не знал формулу l² = ab – ef. Увидев её у вас, я вывел её для себя через теорему косинусов и свойство биссектрисы (хотя бы обе эти вещи я знал). Затем я нашел чисто геометрический вывод этой формулы в Интернете.

Вообще, требование, чтобы используемые формулы можно было доказать без использования тригонометрии, я не подразумевал, ибо, наверное, любые формулы, не содержащие тригонометрии в явном виде, можно вывести как через тригонометрию (аналитически), так и без неё (геометрически). И то, что общеизвестное доказательство какой-либо формулы использует тригонометрию, ещё не значит, что её нельзя вывести и геометрически. И наоборот.

Я глянул “первоисточник”, и там в первом решении используется именно “ваша” формула l² = ab – ef. А второе решение там через теорему косинусов, которое я просил не делать. Также люди предлагают совсем готовую формулу для биссектрисы √(ab(a+b+c)(a+b-c))/(a+b). Не знаю, где они её взяли (похоже, это просто подстановка e и f, выраженных через a и b), но это - просто подставить числа - совсем неинтересно.

Мне же хотелось больше геометрии и порисовать, поэтому у меня получилось вот такое, несколько перемудрённое, но, ИМХО, забавное решение.


1) Вокруг данного треугла описываем круг и продолжаем биссектрису до точки Е пересечения с ним. Получился равнобедрый треугол АВЕ (по свойству равных вписанных углов) (см. рис.).

2) Оба треугла АВС и АВЕ вписаны в один и тот же круг. Используя известную формулу для радиуса описанного круга через длины сторон и полупериметр, получаем:

Для треугла АВС:
p_АВС = (4+5+6)/2 = 15/2
R²_АВС =  4²∙5²∙6²/[16 ∙ 15/2 ∙ (15/2 – 4)(15/2 – 5)(15/2 – 6)] = 6²/16  ∙  16∙25∙2⁴ / (15∙7∙5∙3) = 6²/16  ∙  16² ∙ 25 / (15∙7∙5∙3)

Для треугла АВЕ:
p_АВЕ = (Y+Y+6)/2 = Y+3
R²_АВЕ = Y²∙Y²∙6² / [16∙(Y+3)(Y+3-Y)(Y+3-Y)(Y+3-6)] = 6²/16  ∙  Y⁴ / (9(Y²-9))

Приравниваем  R²_АВЕ = R²_АВС

6²/16  ∙  Y⁴ / (9(Y²-9)) = 6²/16  ∙  16² ∙ 25 / (15∙7∙5∙3)
Y⁴ / (Y²-9) = 4⁴ / 7

Получилось квадратное уравнение относительно Y². Но его не нужно решать, ибо один из двух его корней очевиден: Y=4. И понятно, что этот корень соответствует именно точке Е, находящейся под хордой АВ, ибо, если бы точка Е находилась над хордой АВ, то решение для Y было бы Y>4.

Т.о. мы получили, что отрезки Y = 4 = СВ. Т.е. фигура АЕВС есть трапеция, причём равнобедренная. Следовательно, её диагонали и части диагоналей равны, т.е. X = |AD| = 10/3.
(То, что |AD| = 10/3, находится из свойства биссектрисы).


В этой задаче в условии подобрали такие числа (4, 5, 6), что получилась симметричная картина. По-моему, при такой симметрии, можно было бы сделать более интересную задачу, чем просто "найти длину биссектрисы".