Найти периметр треугольника внутри квадрата

[Tugrik]

Задача встречена в Интернете и немного модифицирована автором этого сообщения.

Задача: Найти периметр треугольника FAE.

Есть квадрат ABCD со стороной равной 1. Из угла С вовнутрь квадрата торчат отрезки СF под углом α=30° к стороне СВ и СЕ под в два раза меньшим углом ß=α/2=15° к стороне CD (см. рис.).
Найти периметр треугольника FAE.

[Tugrik]

Интересность этой задачи, на мой взгляд, состоит в том, что она имеет интересное как чисто геометрическое, так и чисто аналитическое решения. При этом имеется ввиду, что аналитическое решение должно быть доведено до получения точного ответа в простое число без калькулятора.

С чисто геометрическим решением тут всё ясно: сообразил первый шаг - и дальше всё просто. А вот с чисто аналитическим - тут посложнее будет (по крайней мере в моём решении).

Первый шаг моего аналитического решения простой: тригонометрия + Пифагор. Но там получается некрасивый ответ с двухэтажным корнем, который, казалось бы, без калькулятора не вычислишь. Но там можно сообразить, что можно сделать, чтобы найти точный ответ в простое число.

Мне кажется, что Артём оф 93 не любит чистую геометрию, но в аналитике и манипуляциях с числами он тут сильнее всех. Поэтому я поощряю Артёма оф 93 решить эту задачу аналитически и получить точный ответ в простое число без калькулятора. Ну, и другим не отставать.

[SRash]

Для аналитического решения не требуется калькулятора. Тангенсы углов 30 и 15 градусов известны. Легко можно вычислить, ответ 2.

[Tugrik]

Для аналитического решения не требуется калькулятора. Тангенсы углов 30 и 15 градусов известны. Легко можно вычислить, ответ 2.

"Для аналитического решения не требуется калькулятора." - Так а я и не сказал, что калькулятор требуется. Я как раз-таки и поставил задачу решить без калькулятора. Я лишь сказал "казалось бы, без калькулятора не вычислишь".

"Легко можно вычислить" - То, что вы не потрудились расписать и объяснить, как вы перегруппировали и сгруппировали члены подкоренного выражения для гипотенузы, чтобы получить квадрат одной скобки, умноженный на вторую скобку, ещё не значит, что это "легко". Я, лично, этой возможности сходу не углядел и не стал пытаться, потому что уже углядел другой путь, коим и пошел.
В вашем решении я разобрался, только мне не понятно, вы там эвристически нашли как преобразовать подкоренное выражение для гипотенузы или для этого есть известный рутинный метод-алгоритм?

В любом случае, благодарю за ваше аналитическое решение, хоть самую сложную его часть вы и не расписали. Геометрическое решение будете делать?

[SRash]

"В вашем решении я разобрался, только мне не понятно, вы там эвристически нашли как преобразовать подкоренное выражение для гипотенузы или для этого есть известный рутинный метод-алгоритм?"
Извините! Я первый раз. Поэтому не знал, что нужно расписать полностью.

"Геометрическое решение будете делать?". Постараюсь.

[Tugrik]

"В вашем решении я разобрался, только мне не понятно, вы там эвристически нашли как преобразовать подкоренное выражение для гипотенузы или для этого есть известный рутинный метод-алгоритм?"
Извините! Я первый раз. Поэтому не знал, что нужно расписать полностью.

"Геометрическое решение будете делать?". Постараюсь.

Благодарю за "расписывание". Я думал вы по-другому делали. Щас некогда, но потом поподробнее посмотрю ваш "рисунок".

"Извините! Я первый раз. Поэтому не знал, что нужно расписать полностью." - Расписывать или не расписывать - это ваше личное дело, и никто вас тут не может заставить это делать. Но сайт этот - для любителей решать задачи. Именно "решать", а не "решить", а значит и обсуждать, объяснять и анализировать решение. Это же не экзамен, где лишь бы сдать и побыстрее забыть. Поэтому глумиться не надо.

[SRash]

Геометрическое решение задачи:
Возьмем на продолжении стороны DC точку G такую, что CG=AF.
Треугольники BAF и BCG равны /по двум катетам/. 
Треугольники BEF и BEG равны /BE - общая сторона, BG=BF, угол между ними 45°/.
Отсюда FE=EG; Значить FE=EC+AF. Периметр(DEF)=AD+DC=2

[Tugrik]

Геометрическое решение задачи:
Возьмем на продолжении стороны DC точку G такую, что CG=AF.
Треугольники BAF и BCG равны /по двум катетам/. 
Треугольники BEF и BEG равны /BE - общая сторона, BG=BF, угол между ними 45°/.
Отсюда FE=EG; Значить FE=EC+AF. Периметр(DEF)=AD+DC=2

Правильно, хорошо! Именно такое решение и было предложено в оригинале. Я же попервости решил несколько по-другому. Дело в том, что в оригинале нахождение периметра - это было вторым пунктом, а первым - надо было найти углы BEF и BFE. Заранее уже найдя их, я провел перпендикуляр из B на отрезок FE, и этот перп разделил отрезок FE на два отрезка, равных EC и FA.

Плюс геометрического решения по сравнению с аналитическим без калькулятора состоит в том, что углы CBE и FBA не должны быть известными, а лишь бы в сумме составляли 45°. Если вы в геогебре подвигаете точки E и F в сцепке 45°, то увидите, что периметр не меняется. Но, и аналитически и 1й пункт (о нахождении углов BEF и BFE), и 2й пункт (о нахождении периметра) тоже можно решить, если в условии задана лишь сумма углов = 45°. Когда я решал оригинал, там углы не были такими красивыми, а были 20° и 25°. И я поначалу тащил эти цифры 20 и 25 в своём решении, а потом осознал, что они, во общем-то, не нужны, и могли бы быть и другими, в сумме дающими 45. Попробуйте тоже решить 1й и 2й пункты с неконкретизированными углами типа α и ß, α + ß = 45°.

Вообще, эта задача кажется очень простой, после того, как сообразишь, какое дополнительное построение нужно сделать.
Щас вскорости буду думать над следующей встреченной задачей. Если решу и задача понравится, тоже выложу её здесь.

[SRash]

"Попробуйте тоже решить 1й и 2й пункты с неконкретизированными углами типа α и ß, α + ß = 45°."
При любом 0<α<45 вышеуказанное геометрическое решение не изменяется.  Углы BFE и BEF соответственно 90°-α и 45°+α.
Чертеж не стал заново делать. Но мне стало интересно аналитическое решение для любых таких углов и результат получился хорошим.

[Tugrik]

"Попробуйте тоже решить 1й и 2й пункты с неконкретизированными углами типа α и ß, α + ß = 45°."
При любом 0<α<45 вышеуказанное геометрическое решение не изменяется.  Углы BFE и BEF соответственно 90°-α и 45°+α.
Чертеж не стал заново делать. Но мне стало интересно аналитическое решение для любых таких углов и результат получился хорошим.

Да, вы пошли прямым путём, стали решать «в лоб», и решение получилось простым, без каких-либо препон. Я, если бы решал сразу для неконкретизированных углов α + ß = 45°, наверное тоже бы начал решать в лоб. А так, я увидел корни под пифагоровым корнем и испугался двухэтажных корней, и решил, в первую очередь, избавиться от пифагорова корня. В результате моё решение получилось посложнее, но всё равно, ИМХО, представляющее интерес как таковое. Вот как я решал:

Обозначим tgα = t, AF = a, AE = b (в обозначениях с моего рисунка в первом посте) - чисто для простоты написания.

a = AF = 1 – tgα = 1 - t
b = AE = 1 – tgß = 1 – tg(45° - α) = 2∙tgα/(1+tgα) = 2∙t/(1 + t)

Периметр p = a + b + √[a² + b²]     

Изолируем пифагоров корень:

p – (a + b) = √[a² + b²]

Далее обе стороны возводим в квадрат, имея ввиду, что это даст нам одно лишнее решение.

(p – (a + b))² = a² + b²
p² + (a + b)² – 2∙p(a + b)  = a² + b²
p² + 2ab – 2∙p(a + b)  = 0     

подставляем a и b:

p²              +  2(1 - t)∙2t/(1 + t)      –   2∙p(1 - t + 2∙t/(1 + t))     = 0     
p²              +  (4∙t – 4t²)/(1 + t)      –   2∙p(1 – t² + 2∙t)/(1 + t)   = 0     
p²(1 + t)    +  4∙t – 4t²                    –   2∙p(1 – t² + 2∙t)              = 0     
p² + p²t      +  4∙t – 4t²                    –   2∙p + 2pt² - 2p2∙t           = 0

Далее, сгруппируем слагаемые с t во 2й, 1й и 0й степенях, соответственно, в три отдельные группы:

2pt² – 4t²       +    p²t - 4pt + 4t         +   p² – 2∙p  = 0
(p – 2)2t²       +   (p² - 2p2 + 2²)∙t      +  (p – 2)p  = 0
(p – 2)2t²       +   (p - 2)²∙t                 +  (p – 2)p  = 0
(p – 2)∙[2t²     +   (p - 2)∙t                  +           p]  = 0 

Т.о. мы представили в виде двух скобок ()∙[], т.е. два множителя. Это даёт нам два решения:

1) (p – 2) = 0   -> p = 2.   Это решение не зависит от угла α.

2) 2t² + (p - 2)∙t + p = 0 
    p(t + 1) = 2∙t - 2t² = 2t(1 - t)
    p = 2t (1 - t)/ (t + 1) = 2∙tgα∙tgß    Это решение зависит от угла α.

Теперь нам надо понять, какой из двух ответов нужно отбросить.

Решение 1) не вызывает явных сомнений.

Анализ решения 2) показывает, что в этом случае периметр должен стремиться к нулю при стремлении α к нулю. А мы видим (из рисунка), что он стремится к 2. Т.о. решение 2) неверное, и мы его отбрасываем, оставляя решение 1) p = 2.

==========================

Также и нахождение углов FEB и BFE (в обозначениях с вашего рисунка из поста 6 выше) аналитическим путём представляет интерес.

[Artem of 93]

Мне кажется, что Артём оф 93 не любит чистую геометрию, но в аналитике и манипуляциях с числами он тут сильнее всех. Поэтому я поощряю Артёма оф 93 решить эту задачу аналитически и получить точный ответ в простое число без калькулятора. Ну, и другим не отставать.

Не успел, не было времени подумать. А задача интересная: три вроде бы случайных значения в сумме дают ровно 2. И мне именно геометрическое решение понравилось больше. Это как раз и есть настоящая геометрия, без громоздких чертежей, но с чисто геометрическими приёмами.

[SRash]

Также и нахождение углов FEB и BFE (в обозначениях с вашего рисунка из поста 6 выше) аналитическим путём представляет интерес.

[Tugrik]

Также и нахождение углов FEB и BFE (в обозначениях с вашего рисунка из поста 6 выше) аналитическим путём представляет интерес.

Да, я тоже примерно так решал. Центральный момент такого решения – это углядеть и не прозевать, что получившаяся формула 2tgα/(1-tg²α) – это именно формула для тангенса двойного угла. Т.о. здесь получается, что отрезки BE и BF (в ваших обозначениях) – это биссектрисы углов CEF и AFE, соотв.. Отсюда и следовало моё выше упомянутое решение с перпом из точки B к отрезку EF для нахождения периметра.