Здравствуйте, ув. тов. Головолом. Большое спасибо, что отрыли эту мою задачу, о которой даже я сам уже полностью забыл.
Ваше решение, по сути и по мысли, в основном совпадает с моим. Да, для решения, особенно для второй части, эффективным будет анализ производных в точках пересечения графиков.
Позвольте мне немного конструктивно покритиковать Ваше решение с моей субъективной и явно не авторитетной точки зрения.
1) е2 или 2e
Ваш недочёт № 1: Вы нашли оба решения методом подбора (х=2 и х=4), и это практически сразу, с некоторым предварительным анализом, позволяет дать ответ. Вы же почему-то упомянули второе решение х=4 как-то вскользь и между прочим, и совсем не использовали его для нахождения ответа.
Ваш недочёт № 2: Как я понимаю, в математике, в некоторых случаях, допускается решать уравнения методом подбора/угадывания. Но при этом обязательно нужно доказать, что все решения найдены, и что решений не может быть больше, чем найдено. Я понимаю, что Вам это делать лень и неинтересно, но надо было хотя бы упомянуть это.
Я бы попробовал обосновать, что решений уравнения x2=2x при х>0 не может быть больше 2, например, типа так:
- обе функции f1(x)=x2 и f2(x)=2x при х>0 имеют производные >0 , т.е. обе монотонно растут;
- обе функции f1(x)=x2 и f2(x)=2x при х>0 имеют вторые производные >0 , т.е. не имеют точек перегиба;
- значит их графики оба монотонно пузатые с разной степенью пузатости типа как две окружности разного радиуса, и при наезжании одного графика на другой они не могут иметь больше двух точек пересечения. (Степень пузатости определяется величиной второй производной).
Далее, ещё такое рассуждение:
у f1(x)=x2 , начиная со второй производной, прекращается рост производных, а у f2(x)=2x при х>0 , производные растут до бесконечного порядка. Это значит, что f2(x)=2x , начиная с некоторого х, будет всегда больше f1(x)=x2. Но и при х=0 f2(x)=2x > f1(x)=x2 . Тем не менее, мы нашли две точки пересечения х = 2 и х = 4. Это значит, что между этих точек пересечения f2(x)=2x < f1(x)=x2. Наше же число е≈ 2,71828 как раз и лежит в этом интервале между 2 и 4. Значит 2е < е2.
Что мне не очень понравилось в Вашем решении 1), это что вы ухватились за точку 3, оценивали логарифм в ней, использовали производную, но совсем не использовали вторую точку пересечения х=4. Если бы Вы совсем не нашли эту вторую точку пересечения, тогда было бы понятно, зачем вы пустились в этот геморрой. Но Вы-то её нашли. Дело вкуса, конечно.
2) π3 или 3π
В этой задаче у меня к Вам претензий намного меньше. Здесь вторую точку пересечения даже с калькулятором найти невозможно, разве что оценить снизу и сверху. Поэтому анализ производной в точке х=3 здесь обязателен.
Если использовать знания (которые Вы похерили), что точек пересечения при х>0 не больше двух, то достаточно проанализировать производные обеих функций в х=3. Вы правильно нашли, что в х=3 f2(x)=3x растёт быстрее, значит вторая ненайденная точка пересечения должна лежать левее 3. Наше же число п лежит правее 3, там где экспонента уже обогнала степенную, поэтому f2(п)=3п > f1(п)=п3 .
Что немаловажно, если вдруг в задаче 2) окажется, что решений только одно (х=3), то, в данном случае, это никак не влияет на корректность рассуждений и правильность ответа. Кстати, проверить одно ли решение или всё-таки два, можно сравнив производные обеих функций в точке пересечения. Если решений только одно, то производные должны быть равны, и это точка не пересечения, а касания.
В целом, я очень счастлив, что Вы решили эти обе задачи адекватным способом, не выходя за рамки средней школы. Прошу прощения, если я тут звучу слишком "учительно" - институтские замашки, математики слишком трахали нас в институте, ошибёшься плюс вместо минуса, и сразу двойку ставили.
Если Вы с чем-то не согласны, пожалуйста, напишите.
