Оснований более чем достаточно или основательно загнаны в угол

[Tugrik]

Идея задачи взята из Интернета и обобщена автором сей темы.


Задача: Равнобедренный треугольник АВС с основанием АС строится по принципу, чтобы в него помещалось целое число N его оснований (синих отрезков длиной |АС|), опирающихся на его зелёные боковые стороны и на концы друг друга (см. рис.). На рисунке для примера показан такой треугольник для случая N = 10.

Поручение: без калькулятора, найти величину красного угла α при:

1) N = 23;

2) бонус для особо умных (или терпеливых): N = 113.

[SRash]

Можно заметить, что для n отрезков угол при основании (n-1)α. Сумма углов треугольника (2n-1)α=180°;
1) n=23.  45α=180°;  α=4°;
2) n=113.  225α=180°;  α=0.8°=48';

[Tugrik]

Можно заметить, что для n отрезков угол при основании (n-1)α. Сумма углов треугольника (2n-1)α=180°;
1) n=23.  45α=180°;  α=4°;
2) n=113.  225α=180°;  α=0.8°=48';

Спасибо за решение. Ну, опять же, если это можно назвать полноценным решением.
Ответы 4° и 0.8° верные.

Не могли бы вы пояснить, откуда у вас взялась формула (2n-1)α=180° ? О каком треугольнике вы говорите? То, что угол при основании (n-1)α, ещё не значит автоматически, что (2n-1)α=180°.

[SRash]

Спасибо за решение. Ну, опять же, если это можно назвать полноценным решением.
Ответы 4° и 0.8° верные.
Не могли бы вы пояснить, откуда у вас взялась формула (2n-1)α=180° ? О каком треугольнике вы говорите? То, что угол при основании (n-1)α, ещё не значит автоматически, что (2n-1)α=180°.

Спасибо вам за такую хорошую задачу. Я сколько раз решал задачи такого типа, построив отдельные конструкции для каждой задачи. В голову не пришло даже может быть такая общая конструкция. Только после вашей задачи вспомнил про равнобедренных треугольников с углами 36°, 72°, 72° или 20°, 80°, 80° /даже правильный треугольник является частным случаем этой конструкции/. 

В самом правом треугольнике углы при основании α. Угол при основании следующего треугольника внешний угол правого треугольника, поэтому значение 2α /на рисунке угол II/. Из рисунка видно, что угол при основании следующего треугольника 3α. Для n отрезков угол при основании самого правого треугольника (n-1)α. Этот же угол является углом при основании самого большого  треугольника. Данный /самый большой/ треугольник равнобедренный, его углы (n-1)α, (n-1)α, α. Сумма углов (n-1)α+(n-1)α+α=(2n-1)α=180°

[Tugrik]

Спасибо вам за такую хорошую задачу. Я сколько раз решал задачи такого типа, построив отдельные конструкции для каждой задачи. В голову не пришло даже может быть такая общая конструкция. Только после вашей задачи вспомнил про равнобедренных треугольников с углами 36°, 72°, 72° или 20°, 80°, 80° /даже правильный треугольник является частным случаем этой конструкции/. 

В самом правом треугольнике углы при основании α. Угол при основании следующего треугольника внешний угол правого треугольника, поэтому значение 2α /на рисунке угол II/. Из рисунка видно, что угол при основании следующего треугольника 3α. Для n отрезков угол при основании самого правого треугольника (n-1)α. Этот же угол является углом при основании самого большого  треугольника. Данный /самый большой/ треугольник равнобедренный, его углы (n-1)α, (n-1)α, α. Сумма углов (n-1)α+(n-1)α+α=(2n-1)α=180°

Благодарю за хорошее решение. Оно у вас получилось на один шаг короче, чем как я решал. Я, на последнем этапе использовал подобие самого маленького самого левого треугольничка при основании АС и большого треугла АВС. И расписывал сумму углов для этого самого маленького самого левого треугольничка. Там получается точно такое же выражение как у вас: (n-1)α+(n-1)α+α = 180°.

Вообще, строго говоря, в математике, когда индуцируют формулу на произвольное число N, просто подметив глазом закономерность и заменяя числа 1, 2, 3, 4, 5 ,… на букву N, то потом доказывают, что формула с N верная. Но я подзабыл, как это делается и щас некогда вспоминать. Поэтому я и от других не прошу, чтобы это делали. Это, конечно, не снимает ответственности с других. Но лично я ворчать не буду.

Ок, сейчас вы уже вооружены, чтобы решать мою последнюю задачу на построение без конкретных вычислений углов α для случаев с N = 3 и N = 8
www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,12497.0.html
Подключайтесь к её решению, плиз.