Раз никто эту задачу дорешивать не собирается, выкладываю своё собственное решение.
Напоминаю, что дополнительной целью было не вычислять и не строить углы 36° и 12° ни в явном виде, ни в замаскированном под другие построения.
Предисловие.
Мы тут все вывели (чисто эмпирически, без строгого доказательства) формулу угла при вершине большого равнобедренного треугла (α – угол при вершине треугла, N – кол-во втиснутых оснований, включая само основание треугла)
(2N-1)α=180°
α=180°/(2N-1)
Если вокруг этого треугла описать окружность, то α будет вписанным углом. Центральный же угол ß, опирающийся на то же основание, будет в два раза больше:
ß = 360°/(2N-1).
Это похоже на формулу для центрального угла правильного многоугольника
ß = 360°/n
Значит
2N-1 = n
Т.е. если нам нужно построить треуглы с 3 и 8 основаниями внутри, то нам надо в качестве основания взять сторону, соответственно, 5-ти и 15-ти угольника, а вершина треугла совпадёт с дальней вершиной полигона.
Построение пентагона – это хрестоматийная вещь. Его можно подглядеть, например, в Википедии. Но, боюсь, что все известные построения – это, по сути, построение угла 36°. Кроме того, мне, например, не нравится тупо рисовать не понимая, что для чего. Поэтому я выбрал более аналитический способ.
1) N = 3. Рис. 1.
Применяя Пифагора, через высоту h и отрезок с находим |CB| и приравниваем к |AB|. Получаем квадратное уравнение, которое очень легко решается в общем виде и легко чертится. Здесь а – это длина основания, заданная синим произвольным отрезком.
4с2 + 2ac – a2 = 0
Решение этого кв. ур.:
4∙с = -а ± √[a2 + (2a)2].
Надо выбрать знак “+”, иначе получится отрицательный отрезок, который менее предпочтителен.
Найдя отрезок с, строим искомый треугол.
Можно описать круг вокруг полученного треугла и убедиться через построение, что основание треугла – это сторона пентагона. Это понадобится позже.
Я вижу SRash делал такой же рисунок, но для знака “-”. И потом ещё делал лишние зелёный круг и другие неочевидные построения. Т.е. SRash пошел по кривой дороге в погоне за углом 36°.
2) N = 8. Рис. 2.
Здесь можно аналогично применять Пифагора, но такая перспектива пугающая, поэтому я даже не начинал.
А как нарисовать 15-угольник, если о построении угла 12° даже думать нельзя?
Приснилось мне, что любые числа (и отрезки, и дуги) можно делить на числа, состоящие из не кратных друг другу сомножителей, деля на эти сомножители раздельно. Например, 80/15 = ?
15 = 3∙5. Значит надо по отдельности поделить 80 на 3 и на 5,
80/3 = 78/3 + 2/3 = 26 + 0.66(6) = 26,66(6)
80/5 = 16
И потом вычислить разницу между наиболее близко расположенными друг к другу числами, кратными 26,66(6) и 16, т.е. минимальную разницу между
16∙k - 26,66(6)∙m
Это будет
16∙2 - 26,66(6)∙1 = 32 - 26,66(6) = 5,33(3)
Это всё в уме сделать можно.
Аналогично можно построить и 15-угольник. Взять пентагон и равносторонний треугольник, вписанные в один круг, и с одной общей вершиной. И минимальное расстояние между их несовпадающими вершинами будет стороной 15-угольника.
Пентагон у нас уже есть из 1), равносторонний треугол строим поверх пентагона и получаем сторону 15-угольника отрезок DE. Это и будет основание искомого треугла, который должен быть вписан в тот же круг.
