Без производной

[Artem of 93]

Имеет ли уравнение 3x⁴ + 3x³ + 5x² + 5x + 8 = 0 действительные корни? Дайте ответ, не используя производную функции f(x), где f(x) = 3x⁴ + 3x³ + 5x² + 5x + 8.

[Tugrik]

Это – очень лёгкая задача. Если бы вместо 8 было бы 2, то было бы хоть чуть-чуть, над чём думать.


Многочлен 4й степени в общем случае может иметь максимум 4 действительных корня. Минимум ноль корней.
Представим 3x⁴ + 3x³ + 5x² + 5x + 8 = 0
в виде
(3x² + 5)(x² + x) + 8 = 0

Уберём восьмёрку. Это будет то же самое, как если опустить всю кривую на графике вниз на 8.
Как 3x² + 5, так и x² + x – это обычные параболы, которые имеют оси симметрии. Ось симметрии 3x² + 5 нах. в х = 0. Значит при х < 0 она убывает. Ось симметрии x² + x нах. посреди её корней, и там нах. вершина параболы и множитель минимален.

Посмотрим, на сколько ниже оси Х будет самая нижняя точка графика кривой (3x² + 5)(x² + x)
Множитель 3x² + 5 всегда > 0
Множитель x² + x = (x + 1)∙x пересекает ось Х в двух точках: -1 и 0. Снаружи этого отрезка этот множитель >0, а внутри <0. Значит нам достаточно рассмотреть всю эту функцию только внутри [-1; 0].

На отрезке [-1; 0] множитель x² + x достигает своего максимального расстояния от оси Х в точке х = -0.5.  (-0.5)² + (-0.5) = -0.25.

На отрезке [-1; 0] множитель 3x² + 5 достигает своего максимального расстояния от оси Х в точке х = -1.  3∙(-1)² + 5 = 8

Умножаем максимумы обоих множителей 3x² + 5 и x² + x и так оцениваем максимум модуля их произведения:
|(3x² + 5)_max ∙(x² + x)_max| = 8∙0.25 = 2

Т.о. мы видим, что (3x² + 5)(x² + x) опускается ниже оси Х не больше, чем на 2, т.е.
(3x² + 5)(x² + x) >= - 2
и если это всё приподнять вверх на 8, то
(3x² + 5)(x² + x) + 8 >= -2 + 8 >= 6 > 0

Значит 3x⁴ + 3x³ + 5x² + 5x + 8 = 0 действительных корней не имеет на всей вещ. оси.

[Artem of 93]

Есть ещё проще решение. Сможет кто-то найти?

[Tugrik]

Разобьём выражение 3x⁴ + 3x³ + 5x² + 5x + 8 = 0 на две группы:

3x⁴ + 3x³ + 3     +     5x² + 5x + 5 = 0

и рассмотрим каждую из них по отдельности.
Рассмотрим

3x⁴ + 3x³

При х > 0 оно очевидно > 0.

При х < -1 оно также > 0 ибо степень |х⁴| > |x³| при |х| > 1.

При -1 < x < 0 оно < 0 ибо степень |х⁴| < |x³| при |х| < 1. Но оно > x³, ибо x⁴ > 0 при -1 < x < 0. Т.е.     x³ < 3x⁴ + 3x³ < 0 при -1 < x < 0

Минимальное же значение x³ при -1 < x < 0 достигается при х = -1 и равно -3. Т.о.

-3 < 3x⁴ + 3x³ < 0 при -1 < x < 0.

Но там ещё было +3. Поэтому прибавим 3 ко всем частям неравенства:

0 < 3x⁴ + 3x³ + 3 < 3   при -1 < x < 0 

Дополнительно проверяем в точках х = -1 и 0. В них 3x⁴ + 3x³ + 3 тоже > 0. Т.е.

3x⁴ + 3x³ + 3 > 0  при всех х.

Можно аналогично рассмотреть

5x² + 5x + 5

но это есть просто парабола 5(x² + x + 1)  с отрицательным дискриминантом D = 25∙(1-4). Поэтому эта группа тоже > 0 при всех х.

В итоге, изначальное выражение 3x⁴ + 3x³ + 5x² + 5x + 8 > 0  при всех х, т.к. оба его рассмотренных выше слагаемых >0 при всех х. Значит действительных корней нет.


========================
Примечание. Если второе слагаемое 5x² + 5x + 5 сразу рассматривать как параболу, то его можно изначально сделать и как, например, 5x² + 5x + 2. Тогда первое слагаемое будет 3x⁴ + 3x³ + 6. Т.е разбивка 8 на именно 3+5, как было выше, не обязательна. Лишь бы вместо 5 было > 1.25 и < 8.

[Леонид]

Разложим на (3х²+5)(х²+х)+8=0
Понятно, что х должен быть отрицательной дробью.
Но при этом 3х²+5 всегда будет меньше восьми, а х²+х по модулю меньше 1, так что их произведение не даст –8.

[Artem of 93]

Благодарю за варианты решений. Вот ещё как можно выстроить рассуждения.

Очевидно, что при любом положительном x и нуле значение выражения 3x⁴ + 3x³ + 5x² + 5x + 8 будет больше нуля. Для проверки отрицательных x выполним такую замену: x = -a. Тогда нам нужно найти, при каких положительных значениях a (потому что при положительных значениях a значения x отрицательны) выражение 3a⁴ - 3a³ + 5a² - 5a + 8 будет меньше нуля.

Для a, большего или равного 1, представим данное выражение так: (3a⁴ - 3a³) + (5a² - 5a) + 8. Выражения в скобках не будут меньше нуля, а значит значение выражения (3a⁴ - 3a³) + (5a² - 5a) + 8 как минимум равно 8.

Для a, меньшего 1, представим данное выражение так: (3a⁴ + 5a²) - (3a³ + 5a) + 8. Можно заметить, что выражение 3a⁴ + 5a² будет всегда положительно, а значение выражения 3a³ + 5a лежит в интервале от 0 до 8 и будет меньше 8 в любом случае. А это значит, что выражение (3a⁴ + 5a²) - (3a³ + 5a) + 8 больше нуля.

Следовательно, при любом положительном a значение выражения 3a⁴ - 3a³ + 5a² - 5a + 8 больше нуля. Таким образом, при любом x значение выражения 3x⁴ + 3x³ + 5x² + 5x + 8 больше 0. Значит, уравнение 3x⁴ + 3x³ + 5x² + 5x + 8 = 0 действительных корней не имеет.

[Tugrik]

Да, решение этой и подобных ей задач, если ограничиваться только арифметическими методами без анализа функций с пом. производных, так или иначе, сводится либо к разбиению на группы слагаемых, либо к разложению на множители. И потом оцениваются эти слагаемые или сомножители сверху и/или снизу на определённых участках числовой прямой, и делаются выводы что больше чего.