К одной окружности добавить еще три. Геометрия

[Race]

Дана окружность с центром в точке О и три точки А, В,С снаружи от окружности. Окружность с центром в точке О назовем О, окружность, которую можно провести через точку А назовем а, окружность, которую можно провести через точку В назовем b, и т.д. Требуется построить такие три окружности a, b,c, чтобы любая из них пересекалась с каждой из двух остальных в точке О и в точке, лежащей на окружности О. Чертеж-пояснение прилагается. Условием предполагается, что заданные точки А, В,С расположены так, что решение возможно.
Инструменты - циркуль, линейка.

(c) dempid
Авторская пунктуация и синтаксис соблюдены.

[Tugrik]

Если применять инверсию (в Геогебре это называется отражение от окружности – Reflect about circle), то, после применения инверсии, задача сводится к построению треугольника, вписанного в данную окружность, и стороны которого проходят, соответственно, через три точки, заданные внутри этой окружности. Эта задача приводилась тут hripunov в
http://www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,10270.msg82833.html#msg82833
и ещё о подобных вещах много говорилось в теме
www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,11308.0.html

Но, по идее, эту задачу можно решить и без инверсии с ПГ. Возможно, меняя радиус заданного круг, типа стягивания круга в точку или наращивания до точки А, В, С и т.п.

[Tugrik]

Я дорешал эту задачу, без претензий на понятность построения. На рисунке оба возможных решения – тройка красных кругов, и тройка оранжевых кругов.

1-й этап: делаем инверсию точек А, В, С относительно данного чёрного круга. Получаем точки А’, В’, С’. Задача сводится к построению вписанного в чёрный круг треугла, стороны которого проходят через, соотв., точки А’, В’, С’.
2-й этап: Как было описано в www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,10270.msg82831.html#msg82831
отрезки являются касательными к эллипсу. На моём рисунке он окружён лиловыми касательными. К превеликому счастью, линия В’, С’ параллельна оси этого эллипса. Поэтому мы можем легко построить две касательные сверху и снизу эллипса и две – слева и справа, и так получить вершины и оси этого эллипса.
3-й этап: строим две касательные из точки А’ к этому эллипсу – они соответствуют двум решениям. Это и будут одна из сторон искомого треугла. Достраиваем оба искомых треугла – три красные прямые, проходящие через точки А’, В’, С’ и три оранжевые пунктирные прямые, проходящие через точки А’, В’, С’. Инвертируем их относительно чёрного данного круга.

[Tugrik]

Вот сам конечный рисунок, к предыдущему посту.