Электромаятник

[Ygrek]

Для решивших задачи про кубики в аквариумах и про сосуд с трубкой вот, придумал задачку чуток посложней, по уровню второго места районной олимпиады для 12-классников обычных школ (я так думаю).

В невесомости (считай что и воздуха нет) над большим незаряженным куском металла с очень малым удельным электрическим сопротивлением (считай 0) и с плоской поверхностью находится математический маятник - на непроводящей нитке длиной L закреплён маленький металлический шарик массы M, в который засунули эл. заряд Q. Расстояние между шариком (в положении равновесия) и поверхностью металла Н намного больше длины нитки.

Найти период свободных колебаний такого маятника при малых углах отклонения α.

Кучка дополнительных бонусных вопросов для шипко вумных:
1) Какая будет качественная разница если поверхность данного метала сделать шероховатой с высоким коэффициентом сухого трения скольжения.
2) Какая будет качественная разница если эл. проводимость металла будет плохая;
3) Какая будет качественная разница если вместо металла будет диэлектрик с высокой поляризуемостью.

P.S. Наверняка подобные задачи уже были опубликованы где-либо, но если нет, авторские права © оставляю за собой :).

[снн]

Ёшкин кот, мне придется вспоминать (осваивать) раздел "электрическое поле"!

[StrannikPiter]

Вот так и знал, что козыри пойдут - магнитные поля. Но я сделаю ход конем, и их учитывать не буду. Типа шарик маленький, значит заряд несет небольшой, а растояние до металлической стенки наоборот большое, следовательно период колебаний получится большим, скорость шарика маленькой и сила Лоренца несущественной. Да и дифуры решать неохота (какая в этом "эврика"?).

Период математического маятника для малой амплитуды колебаний
T = 2*pi*Sqrt(L/g)
Но это для обычного маятника, в поле тяготения. Поэтому для электромаятника заменяем g на F/M:
T = 2*pi*Sqrt(L*M/F)
F в данном случае сила Кулона. Как известно заряд притягивается к проводящей стенке так, как будто вместо стенки имеется зеркальное отражение заряда, только противоположного знака. Следовательно
F = k*Q²/(2*H)²
k - константа, раскрывать ее не буду, все равно в общем виде решаем.

Итого
Т = (4*pi*H/Q)*Sqrt(L*M/k)

1) Не могу точно сказать, как шероховатость будет сказываться на движении зарядов, вероятно они будут "запаздывать", относительно движения шарика, и возможно амплитуда перемещения по горизонтали зарядов в металле будет меньше. И то скорее всего это только когда шарик положительно заряжен и по поверхности бегают электроны, а не дырки. Но, поскольку H велико, то на колебания маятника это не будет сильно сказываться.

2) Будут потери энергии, значит колебания маятника будут затухающими.

3) Не уверен, но мне думается тогда шарик вообще не будет притягиваться, и колебания не возникнут. Или же будет притягиваться, но сила притяжения будет намного меньше, а период колебаний - больше.

[Ygrek]

Вот так и знал, что козыри пойдут - магнитные поля. Но я сделаю ход конем, и их учитывать не буду. Типа шарик маленький, значит заряд несет небольшой, а растояние до металлической стенки наоборот большое, следовательно период колебаний получится большим, скорость шарика маленькой и сила Лоренца несущественной. Да и дифуры решать неохота (какая в этом "эврика"?).

Период математического маятника для малой амплитуды колебаний
T = 2*pi*Sqrt(L/g)
Но это для обычного маятника, в поле тяготения. Поэтому для электромаятника заменяем g на F/M:
T = 2*pi*Sqrt(L*M/F)
F в данном случае сила Кулона. Как известно заряд притягивается к проводящей стенке так, как будто вместо стенки имеется зеркальное отражение заряда, только противоположного знака. Следовательно
F = k*Q²/(2*H)²
k - константа, раскрывать ее не буду, все равно в общем виде решаем.

Итого
Т = (4*pi*H/Q)*Sqrt(L*M/k)

1) Не могу точно сказать, как шероховатость будет сказываться на движении зарядов, вероятно они будут "запаздывать", относительно движения шарика, и возможно амплитуда перемещения по горизонтали зарядов в металле будет меньше. И то скорее всего это только когда шарик положительно заряжен и по поверхности бегают электроны, а не дырки. Но, поскольку H велико, то на колебания маятника это не будет сильно сказываться.

2) Будут потери энергии, значит колебания маятника будут затухающими.

3) Не уверен, но мне думается тогда шарик вообще не будет притягиваться, и колебания не возникнут. Или же будет притягиваться, но сила притяжения будет намного меньше, а период колебаний - больше.

 А Вы, я смотрю, прям такой пуленепроницаемый и воздухонепробиваемый! На Вас трудно управу найти. Вы тут один остались ещё с прошлой задачи, и Вам нет здесь конкурентов давно.
  Но я, вообще-то, догадывался, что это не сложная задача, если только чел знает принцип "заряд притягивается к проводящей стенке так, как будто вместо стенки имеется зеркальное отражение заряда противоположного знака". А до козырей ещё далеко. Тем более, что я все козыри растерял ещё лет 20 назад, предавшись продаже и ремонту лазерных принтеров и копиров . Зато я был единственный на районе, кто знал, что лазерные принтеры и копиры работают на основе типа "фотоэффекта Эйнштейна" и почему бумага на выходе из принтера и копира горячая .
  Ну, ладно ладно! Я ещё тут придумаю задачки, где мы с Вами опять сцепимся "в полемике". Не говорю, что Вы вообще не сможете их решить, но разное видение картины мира проявится.
  Вы ведь тоже не без пятен - вон, и тут пара ляпов:
1) "это только когда шарик положительно заряжен и по поверхности бегают электроны, а не дырки" - Где Вы видели в металле дырки? И вообще, дырочная проводимость вовсе не факт, что всегда хуже электронной проводимости. Или какой же страшной величины должен был бы быть отрицательный Q, чтобы выгнать все свободные электроны с металла в окрестности радиусом порядка Н, и этого всё равно не было бы достаточно?
2) "3) Если будет диэлектрик с высокой поляризуемостью - тогда шарик вообще не будет притягиваться" - Вы разве не играли в любимую игру всех советских детей "пластмассовой расчёской яростно по волосам, и гонять бумажки/ватки/щепки/скрепки/кусочки фольги" по столу?

  Кстати, а может быть Вы препод, и своих студентов заставляете мои задачки решать? А может Вы сами ещё студент, и просто ещё ничего не забыли?  

[StrannikPiter]

Когда я учился в универе 20+ лет назад, то нам говорили, что учат не знанию формул, а умению пользоваться справочными материалами. Все формулы помнить невозможно, да и не нужно, их всегда можно найти в справочнике (гугла тогда не было), но нужно понимать общие принципы и знать, что искать. Так что про отражение заряда, я нагуглил, как и формулу маятника. И даже закон Кулона перепроверил, хотя и помнил. На память написал только второй закон Ньютона.   

Дырок в металле конечно нет, я просто так вольно выразился. Имел ввиду, что положительный заряд притянет электроны к шероховатому краю, и для движения по горизонтали им придется преодолевать потенциальные ямы. В случае отрицательного заряда электроны наоборот отодвинутся вглубь металла и там им ничего не помешает передвигаться.
А про расческу и бумажки действительно забыл совсем.

[Ygrek]

про отражение заряда, я нагуглил, как и формулу маятника.
Дырок в металле конечно нет, я просто так вольно выразился. Имел ввиду, что положительный заряд притянет электроны к шероховатому краю, и для движения по горизонтали им придется преодолевать потенциальные ямы. В случае отрицательного заряда электроны наоборот отодвинутся вглубь металла и там им ничего не помешает передвигаться.
А про расческу и бумажки действительно забыл совсем.

"про отражение заряда, я нагуглил" - Вы лихач, однако. Большинство народа, если б этого не знали, то даже и пытаться не стали бы.

"Дырок в металле конечно нет" - Я имел ввиду термин "дырки", как в полупроводниках (с примесями). Там они есть.

"им придется преодолевать потенциальные ямы" - Если им трудно двигаться по колдобинам, то кто им мешает просто двигаться чуть ниже, где уже нет колдобин?

"электроны наоборот отодвинутся вглубь металла" - Тут у Вас, как мне кажется, отсебятина. Мне почему-то кажется, что в проводнике заряды никогда не лезут вглубь, и не создают объёмного заряда. Заряды перетекают только по поверхности и создают такое поверхностное распределение, чтобы компенсировать эл. поле внутри объёма проводника. Вообще проводник внутри всегда нейтральный, а все заряды шарятся по поверхности. Так мне кажется.

[StrannikPiter]

Это только высокочастотные токи текут по поверхности, а низкочастотные по всему объему. Сопротивление проводника зависит от площади сечения, а не от длины периметра сечения.

Заряды перетекают только по поверхности и создают такое поверхностное распределение, чтобы компенсировать эл. поле внутри объёма проводника.

Да, но это в статике. А электрический ток - это как раз следствие наличия поля внутри проводника.

Почему нейтральная металлическая стенка притягивает заряд? Потому, что электроны притягиваются/отталкиваются к/от шарику(а), смещаются внутри проводника и образуется неравномерное распределение зарядов.
Если шарик положительно заряжен, то электроны притягиваются к краю стенки, а в глубине образуется недостаток электронов с положительным зарядом. И именно потому, что электроны ближе к шарику, чем положительно заряженная область, в сумме возникает притяжение. А при движении шарика, электроны, скучковавшиеся на шероховатой поверхности, вынуждены перемещаться именно по поверхности.
Если шарик Отрицательно заряжен, то электроны наоборот, оттолкнутся вглубь стенки и будут перемещаться в глубине. Конечно, если стенка тонкая, то они скучкуются на обратной стороне стенки и тоже попадут в потенциальные ямы. Но судя по рисунку, стенка толстая.

Хотя возможно электроны в стенке вообще не будут горизонтально перемещаться, а только вертикально, тогда шероховатая поверхность им не помешает...

[Ygrek]

Это только высокочастотные токи текут по поверхности, а низкочастотные по всему объему. Сопротивление проводника зависит от площади сечения, а не от длины периметра сечения.

Заряды перетекают только по поверхности и создают такое поверхностное распределение, чтобы компенсировать эл. поле внутри объёма проводника.

Да, но это в статике. А электрический ток - это как раз следствие наличия поля внутри проводника.

Почему нейтральная металлическая стенка притягивает заряд? Потому, что электроны притягиваются/отталкиваются к/от шарику(а), смещаются внутри проводника и образуется неравномерное распределение зарядов.
Если шарик положительно заряжен, то электроны притягиваются к краю стенки, а в глубине образуется недостаток электронов с положительным зарядом. И именно потому, что электроны ближе к шарику, чем положительно заряженная область, в сумме возникает притяжение. А при движении шарика, электроны, скучковавшиеся на шероховатой поверхности, вынуждены перемещаться именно по поверхности.
Если шарик Отрицательно заряжен, то электроны наоборот, оттолкнутся вглубь стенки и будут перемещаться в глубине. Конечно, если стенка тонкая, то они скучкуются на обратной стороне стенки и тоже попадут в потенциальные ямы. Но судя по рисунку, стенка толстая.

Хотя возможно электроны в стенке вообще не будут горизонтально перемещаться, а только вертикально, тогда шероховатая поверхность им не помешает...

"Почему нейтральная металлическая стенка притягивает заряд? Потому, что электроны притягиваются/отталкиваются к/от шарику(а), смещаются внутри проводника и образуется неравномерное распределение зарядов." - В том-то и дело, что "электроны притягиваются/отталкиваются к/от шарику" до тех пор, пока не упрутся в поверхность куска. В случае бесконечного куска металла, они упрутся в бесконечность, а в случае конечного куска металла они упрутся в поверхность (заднюю), а объёмного заряда не будет.
   По закону Гаусса (первому из ур. Максвелла) "Поток электрической индукции через замкнутую поверхность S пропорционален величине свободного заряда, находящегося в объёме V, который окружает поверхность S". А внутри проводника (особенно с сопр. 0, как я говорил), поля не должно быть. Объёмного заряда внутри и в диэлектрике не будет (хотя поле будет, но не E, а D).

Даже если кусок металла зарядить, весь избыточный заряд разбежится к поверхности, а внутри будет 0. А чужой заряд почему-то вдруг сделает внутри не 0.

  Да, я согласен, что при переходных процессах соответствующие перераспределения заряда будут происходить не только на поверхности, но и в объёме, но наш случай всё же скорее стационарный, нежели "как ток по всему сечению проводника". Сами говорили про коня: "Период колебаний получится большим, скорость шарика маленькой". Особенно в моменты максимального отклонения, когда скорость шарика =0.

Про скин-эффект, кот. Вы упомянули, я вообще тут не вижу смысла говорить.

Сори, щас уже не могу думать. Я не такой двужильный (двумозглый) как Вы. Потом как-нибудь, особенно когда доучусь и поумнею, продолжу. Сами понимаете, физика - это не лингвистика, и не делёж 3-х яблок. Кстати, Iqfun - он же по ходу лингвист-авангардист!

[StrannikPiter]

В том-то и дело, что "электроны притягиваются/отталкиваются к/от шарику" до тех пор, пока не упрутся в поверхность куска. В случае бесконечного куска металла, они упрутся в бесконечность, а в случае конечного куска металла они упрутся в поверхность (заднюю), а объёмного заряда не будет.

Но ведь как только внешнее поле затолкнет электроны вглубь, положительно заряженные атомы решетки начнут их притягивать обратно. Электроны не смогут убегать до бесконечности, а отодвинутся вглубь ровно настолько, чтобы создать поле, равное внешнему, но противоположное по направлению.

[Ygrek]

Но ведь как только внешнее поле затолкнет электроны вглубь, положительно заряженные атомы решетки начнут их притягивать обратно. Электроны не смогут убегать до бесконечности, а отодвинутся вглубь ровно настолько, чтобы создать поле, равное внешнему, но противоположное по направлению.

В приведённом здесь классическом примере однородного поля, на какую глубину, по-Вашему, должны отойти электроны от поверхности  или как распределиться по глубине в случаях:
1) h < H; 2) h = H; 3) h > H; 4) h >> H; 5) h = ∞ ?

[StrannikPiter]

Думаю от H и от h глубина зависеть не будет.
Вот нашел про это:

В плазме толщина заряженного слоя на поверхности составляет несколько радиусов Дебая, в металле — несколько длин Ферми.

1 ферми = 1 фм = 1·10⁻¹⁵ м.

Получается электроны в любом случае останутся в зоне шероховатости.

Upd. Не, это не совсем тот случай, надо подумать...

[StrannikPiter]

Да, пожалуй Вы правы, на всю толщину электроны разбегутся.

[Ygrek]

Да, пожалуй Вы правы, на всю толщину электроны разбегутся.

Ну Вы подождите так быстро сдаваться. Тем более, это не в Вашем стиле.

   Случай "плоского" (однородного) поля бесконечной ширины - это всё-таки крайний частный случай. В реальности всё не так уж однозначно. Вот Вы правильно упомянули понятие "толщина заряженного слоя". Ведь в действительности заряды не находятся прямо на самой поверхности с нулевой толщиной, и также не торчат из поверхности как двухдневная щетина на лице. Они сидят в каком-то слое конечной толщины. Допустим, этот слой ~ 10 крист. ячеек. И если перейти в другой крайний случай - металлической плёнки толщиной всего в 20 крист. ячеек, то получим совсем другую картину. Хотя, будет ли это метал?

   Также ещё другой пример - очень тонкая прямая проволочка (например, "диаметром" ~ 20 крист. ячеек), и заряд Q поднесли близковатисто к одному из торцов. Тогда поле от внешнего заряда Q будет меняться по величине вдоль длины проволочки. И если, как я утверждал, весь заряд от торца, ближнего к внешнему заряду Q, убежит в противоположный торец, то это не даст адекватного компенсирующего поля, чтобы обратить поле внутри проволочки в 0. И получается, что наведённый заряд должен не весь убежать в противоположный торец, а распределиться вдоль всей длины проволочки как-то по ~ 1/R².

  Я уже было тут раскорячился с этим примером, но потом подумал, что всё-таки в реальном случае разумной проволочки диаметром, например ~100 крист. ячеек, при условии толщины слоя заряда ~ 10 крист. ячеек, этот наведённый заряд хоть и распределится вдоль всей длины проволочки, но будет всё-таки находится на её боковой поверхности в этом 10 крист. ячеек слое. А ближе к оси проволки всё-таки наведённого заряда не будет.

P.S. Как Вам кажется, такие темы интереснее дележа чужих 3-X яблок из потребительской корзины, или фигня полная? Судя по количеству респондентов там и здесь, физика - это полная фигня.

[снн]

P.S. Как Вам кажется, такие темы интереснее дележа чужих 3-X яблок из потребительской корзины, или фигня полная? Судя по количеству респондентов там и здесь, физика - это полная фигня.

Извините, если встряну со своей "объяснительной запиской":
ОТВЕТ НА ВАШЕ НЕГОДОВАНИЕ ВЫ НАЙДЕТЕ В "ТАБЛИЦЕ БРАДИСА" - некоем законе о распределении, проиллюстрированном в моей  задаче "Брадис и остатки" в Авторском разделе. Там, кстати, тоже с респондентами не айс.

[StrannikPiter]

P.S. Как Вам кажется, такие темы интереснее дележа чужих 3-X яблок из потребительской корзины, или фигня полная? Судя по количеству респондентов там и здесь, физика - это полная фигня.

Для того, чтобы решать задачи про яблоки не нужно никаких особых знаний. А физика требует знаний, которые многим плохо даются, даже с учетом того, что контингент этого форума по интеллекту выше среднего.
Это кстати и таблиц Брадиса касается. Там явно нет чисто логического решения, а требуется какое-то специфическое знание. Поэтому народ и не ломится.
И еще физика не дает строгих решений. Человек решит по формуле, а потом придет очередной pant и скажет, что при падении шарика с высоты 20 м не учли изменение силы тяжести или колебания отдельных атомов, искажающих траекторию или еще чего. И не искушенный в физике человек, решит в такие темы и не соваться.