По просьбе TugrikaПредлагаю ещё один вариант решения. Всё строго, обоснованно и доказано. Ну, по крайней мере, мне так кажется.
Метод через экстремум функции (нуль первой производной). Решение тупо в лоб и без эврики. Идея решения простая, а само решение несколько громоздкое, ибо надо два раза брать производную сложной функции. Но, если кому это сложно, есть сайты, вычисляющие n-ые производные сложных функций общего вида. Например,
https://math.semestr.ru/math/diff.phpwww.kontrolnaya-rabota.ru/s/proizvodnaya-funktsii/one============
Сначала пара физических фактов. Задача, всё-таки, типа физическая.
1) Пусть Т – точка касания эллипса с рампой (наклонной плоскостью), а угол α – угол между отрезком [Т”Center of mass”] и большой полуосью эллипса а
(см. рисунок
https://ibb.co/nx9fAK ).
В случае равновесия точка Т будет расположена точно под центром масс эллипса, ибо сила тяжести mg должна в положении равновесия иметь нулевой момент (рычаг) относительно точки касания, а иначе эллипс покатится. Иными словами, в равновесии отрезок [Т”Center of mass”] всегда вертикальный, т.е. перпендикулярен основанию рампы.
2) Силы трения и реакции опоры уравновешивают друг друга по своим горизонтальным составляющим. При этом сила реакции опоры всегда нормальна к рампе, поэтому оба угла φ (угол рампы и угол между векторами mg и реакции опоры) равны.
Сама же рампа будет касательной к эллипсу – иначе и быть не может.
Теперь рассмотрим условие равновесия (как устойчивого, так и неустойчивого). Оно возможно только тогда, когда мы можем расположить эллипс так, чтобы его центр масс находился строго над точкой касания. Это возможно не при любых углах рампы, а только до определённого значения. Выше этого значения даже неустойчивого положения равновесия нету.
Таким образом, для нахождения максимального угла рампы, нам нужно найти максимальный угол между векторами силы тяжести и силы реакции опоры, т.е. угол CTМ. (см. рис.
https://ibb.co/f6OZqK )
Уж извините, рисунок вверх ногами, но так мне почему-то удобнее было делать математическую часть.
Ещё раз другими словами: Нас интересует угол СТМ, т.е. угол, вершина Т (точка касания) которого лежит на самом эллипсе, а один из его лучей (луч ТС) проходит через центр масс эллипса С, и второй луч – это перпендикуляр к рампе, т.е. луч ТМ.
Теперь абстрагируемся от физики и займёмся чисто математикой.
При движении точки Т по эллипсу от вершины эллипса В в сторону вершины А угол СТМ будет сначала увеличиваться от нуля до некоторого максимального значения в точке Т
max, а потом опять уменьшаться до нуля. От В до Т
max – это всё положения Т устойчивого равновесия для одного соответствующего угла рампы, ибо на этом этапе радиус эллипса [СТ] растёт с положительным ускорением по углу α. А на участке от Тмакс до А – это положения неустойчивого равновесия для того же угла рампы, ибо радиус эллипса [СТ] хоть ещё и растёт, но уже с отрицательным ускорением по углу α. Два положения равновесия - устойчивое и неустойчивое для одного конкретного угла рампы (т.е. две точки на эллипсе) как бы «симметричны» относительно максимального угла φ
max. А в точке φ
max они сливаются водно. И при угле рампы меньше φмакс эллипс можно поставить в два положения равновесия – устойчивое и неустойчивое. А при угле больше φмакс уже никакого равновесия нет, даже неустойчивого.
Для нахождения максимального угла СТМ нам нужно просто найти его зависимость от угла α, взять первую производную этой зависимости по α, приравнять её нулю, найти α
max и подставить это α
max в выражение для угла СТМ. Это из программы средней школы.
1) Есть формула для длины радиуса эллипса в зависимости от угла α:
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2be964a3f420aff32ce9bf0107c89b2b9e72d3b(там вместо φ надо подразумевать α)
2) Умножаем r на cosα и так получаем иксовую компоненту r
x этого радиуса.
r
x = ab / (sqr[ a^2 ∙ (tgα)^2 + b^2 ]) (1)
3) Займёмся теперь нахождением угла ß. Для этого берём производную по иксу от формулы кривой эллипса y = b ∙ sqr[1 – (x/a)^2]
y(x)’ = -(b/a) / sqr[ (a/x)^2 - 1 ] (2)
4) Подставляем вместо х в (2) r
x из (1) и получаем:
y(x)’ = -(b/a)^2 ∙ ctgα (3)
Как известно, производная y(x)’ по х – это тангенс угла наклона касательной в точке (х, y(x))
Т.о., ß = arctg(y(x)’) = arctg((b/a)^2 ∙ ctgα) (4)
(тут я минус выкинул).
5) Угол СТМ, он же φ, есть часть треугла СТЕ и равен
φ = 180 – 90 – α – ß (5)
Подставляем ß из (4) и получаем зависимость φ от α:
φ(α) = 90 – α - arctg((b/a)^2 ∙ ctgα) (5_1)
6) Берём производную от φ(α) из (5_1):
φ(α)’ = [90 – α - arctg((b/a)^2 ∙ ctgα)]’ = -1 + (K(V+1))/(1+V∙K^2) (6)
(здесь K = (b/a)^2 и V = (ctgα)^2 лишь для удобства записи)
7) Приравниваем (6) нулю
-1 + (K(V+1))/(1+V∙K^2) = 0
и получаем:
ctgα
max = a/b
α
max = arcctg(a/b) (7)
8) Подставляем (7) в (5_1) и находим φ
maxφ
max = 90° – arcctg(a/b) - arctg((b/a)^2 ∙ ctg(arcctg(a/b))) = 90° - arcctg(a/b) - arctg((b/a)^2 ∙ (a/b)) =
= 90° - arcctg(a/b) - arctg(b/a) =
= π/2 – 2∙arctg(b/a) = π/2 – 2∙arcctg(a/b) (тут a/b и b/a > 0, так что arcctg(a/b) = arctg(b/a))
Ответ:
φmax = π/2 – 2∙arctg(b/a) = π/2 – 2∙arcctg(a/b)-------------------------------------------------------------------------
П.С. Интересное наблюдение: Треугол CTE, при максимальном угле φ, всегда равнобедренный, и углы α и ß равны.
П.П.С У меня есть ещё три задумки, как можно пытаться решать эту задачу. В частности, 1) через моменты сил, 2) через дифференцирование кривой эллипса и 3) через нахождение угла α при котором скорость роста радиуса эллипса максимальна, что, по идее, соответствует φмакс. Но, это как-нибудь в другой раз.
