Лесопарковая зона

[Artem of 93]

Неподалёку от большого города находится обширная лесопарковая зона, которая представляет собой прямоугольник со сторонами, каждая из которых равна целому числу километров. Через некоторое время границы лесопарковой зоны были изменены: сама зона вновь образовывала прямоугольник, при этом меньшая сторона прямоугольника не изменилась, а к большей стороне прибавили столько километров, сколько квадратных километров составляла площадь зоны в прежних границах.
 
Чему равны минимально и максимально возможные площади лесопарковой зоны в новых границах, если известно, что площадь зоны в прежних границах составляет столько процентов от площади зоны в новых границах, сколько квадратных километров составляла площадь зоны в прежних границах?

[Леонид]

Задачи South Paw Mary из старых журналов перенесены в соответствующую тему.

[hripunov]

Неподалёку от большого города находится обширная лесопарковая зона, которая представляет собой прямоугольник со сторонами, каждая из которых равна целому числу километров. Через некоторое время границы лесопарковой зоны были изменены: сама зона вновь образовывала прямоугольник, при этом меньшая сторона прямоугольника не изменилась, а к большей стороне прибавили столько километров, сколько квадратных километров составляла площадь зоны в прежних границах.
 
Чему равны минимально и максимально возможные площади лесопарковой зоны в новых границах, если известно, что площадь зоны в прежних границах составляет столько процентов от площади зоны в новых границах, сколько квадратных километров составляла площадь зоны в прежних границах?

При попытке осознать условие возник вопрос. Фраза "Чему равны минимально и максимально возможные площади лесопарковой зоны в новых границах, если известно, что площадь зоны в прежних границах составляет столько процентов от площади зоны в новых границах, сколько квадратных километров составляла площадь зоны в прежних границах?" -  предполагает, что в новых границах площадь всегда будет 100 кв.километров, ибо количество процентов старой площади в новой равно количеству кв. километров старой площади .
Предполагаю, что вместо зеленого слова "новых" должно стоять "прежних".
В этом случае максимальная старая(прежняя)  площадь будет 50 кв.километров ( прямоугольник 1х50), а минимальная 20 кв.км (прямоугольник 4х5)

[Artem of 93]

Предполагаю, что вместо зеленого слова "новых" должно стоять "прежних".
В этом случае максимальная старая(прежняя)  площадь будет 50 кв.километров ( прямоугольник 1х50), а минимальная 20 кв.км (прямоугольник 4х5)

Нет, hripunov, это был подвох. Вы его распознали абсолютно верно. Если вчитаться в вопрос задачи, то не будет необходимости делать дальнейшие рассуждения. Остальное в условии - это отвлекающий манёвр. А минимально и максимально возможные площади лесопарковой зоны в новых границах равны одному и тому же значению - 100 км².

Пусть x км – большая сторона зоны в прежних границах, y км - меньшая сторона. Тогда площадь зоны в прежних границах равна xy км², площадь зоны в новых границах - (x + (xy))y км². Составим следующее уравнение:

xy / (x + (xy))y = 0,01xy или 100xy / (x + (xy))y = xy

Упростим его:

100x / (x + (xy)) = xy;
100x / (x(1 + y)) = xy;
100 / (1 + y) = xy.

Данное уравнение имеет в натуральных числах только две пары корней (x; y): (5; 4) и (50; 1).

Площадь зоны в новых границах равна (x + (xy))y. Для первой пары корней она составит:

(5 + 5*4)*4 = 25*4 = 100 (км²)

Для второй пары:

(50 + 50*1)*1 = 100*1 = 100 (км²).

Таким образом, минимально и максимально возможные площади лесопарковой зоны в новых границах равны одному и тому же значению - 100 км².