Квадратный парк

[Artem of 93]

Территория детской площадки имеет форму прямоугольного треугольника, каждый катет которого имеет длину, равную целому числу метров. Неподалёку от детской площадки расположен парк, территория которого имеет форму квадрата со стороной, длина которой равна периметру детской площадки. При этом площадь парка больше площади детской площадки в целое число раз.

Чему равна максимально возможная площадь парка при максимально большом значении отношения площади парка к площади детской площадки, если известно, что парк окружают со всех сторон дороги, а площадь окружённой дорогами территории равна 7 га?

[South Paw Mary]

Простейший вариант. Стороны треугольника 3, 4, 5, а сторона квадрата 3+4+5. Считайте.

[Artem of 93]

Простейший вариант. Стороны треугольника 3, 4, 5, а сторона квадрата 3+4+5. Считайте.

Нужно найти максимально возможную площадь парка в пределах площади территории, ограниченной дорогами, при максимально большом значении отношения площади парка к площади детской площадки.

[hripunov]

Территория детской площадки имеет форму прямоугольного треугольника, каждый катет которого имеет длину, равную целому числу метров. Неподалёку от детской площадки расположен парк, территория которого имеет форму квадрата со стороной, длина которой равна периметру детской площадки. При этом площадь парка больше площади детской площадки в целое число раз.

Чему равна максимально возможная площадь парка при максимально большом значении отношения площади парка к площади детской площадки, если известно, что парк окружают со всех сторон дороги, а площадь окружённой дорогами территории равна 7 га?

Подходит под описание треугольник 18Х80Х82 c площадью 720. Тогда площадь парка  32400, что ровно в 45 раз больше.  Правда, не могу утверждать, что нет треугольника, более близкого к требованиям условия..

[Artem of 93]

Подходит под описание треугольник 18Х80Х82 c площадью 720. Тогда площадь парка  32400, что ровно в 45 раз больше.  Правда, не могу утверждать, что нет треугольника, более близкого к требованиям условия..

Всё верно, это именно тот случай, который описан в условиях. Искомая площадь равна 32400 м².

Из условий задачи следует, что площадь парка не превышает 70000 м². Обозначив катеты треугольника как x и y, составим следующую систему уравнений с целочисленными x и y:
   
(x + y + (x² + y²)^1/2)² / (x*y*0,5) = z (где z - целое и максимально возможное)
(x + y + (x² + y²)^1/2)² ≤ 70000

Методом перебора вариантов можно обнаружить, что z = 45. А x и y могут быть равны соответственно:

9 и 40;
18 и 80.

Максимально возможной площадью квадрата, меньшей 70000 м², будет являться следующее значение:

(18 + 80 + (18² + 80²)^1/2)² = 32400 (м²).