Разрезание и складывание

[hripunov]

По просьбе Race  выкладываю пару задач на перекройку:
1) Ромб с углами 60 и 120 гр.  разрезать на 4 части и сложить из них квадрат
2) Произвольный остроугольный треугольник разрезать на 4 части и сложить из них квадрат

[Race]

Никак не получаются, даже базовые задачи. Буду искать какую то книгу школьного уровня про разрезания... Извините. 

[Леонид]

У нас в Питере сейчас пользуются бешеным успехом уличные лотки с головоломками. Там надо сложить из четырёх кусочков прямоугольник, или букву Т, или ещё что-нибудь. Есть и объёмные – сцепить-расцепить и прочее. Народу толпится больше чем вокруг уличных певцов и поэтов.

[hripunov]

Никак не получаются, даже базовые задачи. Буду искать какую то книгу школьного уровня про разрезания... Извините. 

Со временем должно получиться. Такого рода задачи именно "головоломчатого" типа.  С точки зрения математики все давно доказано: можно .  А  вот поиск "технологии"  может быть разным.  Кстати, задачу "перекроить два правильных треугольника в квадрат" тут решили. А заданный в этой задаче ромб это и есть два правильных треугольника.

[hripunov]

Вот, вижу, задачу №1  Tugrik  уже решил.
По №2  пояснение: треугольник должен быть более-менее компактным, соотношение длин двух произвольных сторон в пределах 1/1.3  - тогда такой треугольник гарантированно можно разрезать на 4 части и сложить квадрат.    Слишком вытянутые треугольники не подойдут.

[Race]

hripunov,
обе задачи решены, дайте еще, пожалуйста)

[hripunov]

Из пятиугольника квадрат

Как известно, Дьюдени в свое время смог разрезать правильный пятиугольник на 6 частей и сложить из них квадрат.  Мы возьмем пятиугольник попроще  - изображенный на рисунке ( квадрат , от которого отрезан треугольник  с углами 90 и 45, и  с площадью 1/8).    Его требуется разрезать на части и сложить квадрат. Возможно решение из 5 деталей .

[hripunov]

№4

Фигуру разрезать на 5 частей и сложить из них квадрат

[hripunov]

№3  решили на другой ветке. №4  пока не решен.   Вот еще №5 - очень похож на №4: из относительно простых.

№5
 Из змейки квадрат
Фигуру разрезать  на 5 частей и сложить квадрат

[hripunov]

Поскольку  базовые задачи  на прямоугольные фигуры уже освоены, предлагаю продолжить тему с  другими многугольниками.  Треугольник освоен, очередь за трапецией ( она даже проще треугольника, если пропорции подходящие)
№6  Трапецию перекроить в квадрат
Нарисовать трапецию, примерно такую, как на рисунке , разрезать на 4 части и сложить квадрат.

[hripunov]

Тому, кто решит задачу с трапецией, предлагаю еще задачу с произвольной фигурой.  К сожалению, для произвольного четырехугольника уже не бывает универсальных  лаконичных решений.  Для треугольника  - есть  ( и то не для каждого), для трапеции  - есть ( тоже не для каждой, но универсальный подход есть) , а для произвольного четырехугольника  коротких решений нет ( если только четырехугольник не окажется "удобным"). Конечно,  задачи с произвольным четырехугольником тоже легко разрешимы, но в них уже нет красивой лаконичности.

 Поэтому после решения задачи с трапецией  можно перейти к  фигурам, для которых есть лаконичное решение , где число частей не слишком велико.

Итак, задача " галочка".


№7     Галочка
Данную фигуру перекроить в квадрат, разрезав на 5 частей.

[hripunov]

Что-то решений  не видно.   Но все равно, выложу еще одну:

№8 Из двух треугольников один

Разрезать два равных треугольника на части, из которых сложить треугольник, подобный исходным. Возможно решение из 6 частей ( каждый треугольник разрезается на 3 части). Но и решение с бОльшим количеством частей будет хорошим результатом

[Tugrik]

Что-то решений  не видно.   Но все равно, выложу еще одну:

№8 Из двух треугольников один

Разрезать два равных треугольника на части, из которых сложить треугольник, подобный исходным. Возможно решение из 6 частей ( каждый треугольник разрезается на 3 части). Но и решение с бОльшим количеством частей будет хорошим результатом

www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,11590.msg88402.html#msg88402

Мне пока, в силу врождённого скудоумия, так и не удалось найти «загаданное» ув. тов. hripunov решение в 3 + 3 = 6 частей, поэтому пришлось идти стандартным, незамысловатым и рутинным путём, развивая стандартный метод перекройки треугольника в квадрат. На этот стандартный 4-х-кусочный метод ув. тов. hripunov намекнул в посте
www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,11583.msg87746.html#msg87746
 
Поняв из пары рисунков, в чём суть проиллюстрированного там метода, не сложно сообразить, как перекроить и треугольник в квадрат. А затем и трапецию в квадрат. Но дальше я думал, что этот метод ограничен перекройкой только в квадрат. Но, применив пространственное воображение в стиле «проективной геометрии», я осознал, что можно таким же методом перекроить и в прямоугольник. А далее осознал, что и в параллелограмм, а затем и в трапецию. Поковырялся не мало часов, и получилось обобщить этот метод и применить для перекройки треугольника в трапецию, что и использовал для решения данной задачи № 8.

В итоге, здесь один из треугольников оставляется нетронутым, а второй треугольник перекраивается в оставшуюся трапецию обобщённым стандартным 4-х-кусочным методом. Итого требуется 1 + 4 = 5 частей.

====================================================

П.с. Остальные задачи из этой темы, так или иначе, решены мною в теме
www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,11475.msg87778.html#msg87778

П.п.с. Также не составляет труда перекроить прямоугольник в другой прямоугольник очевидным и простым 3-х-кусочным методом. И, комбинируя перекройки треугольников, прямоугольников, парал-граммов и трапеций др. в др., можно что угодно перекроить во что угодно. Другое дело, будет ли это самый короткий путь. Но, если не знаешь изящного и короткого пути, всегда можно исходную и конечную фигуры независимо перекроить, например, в квадрат, а потом наложить полученные квадраты др. на др. и так получить набор деталей.

За сим, позвольте откланяться.

[hripunov]

Что-то решений  не видно.   Но все равно, выложу еще одну:

№8 Из двух треугольников один

Разрезать два равных треугольника на части, из которых сложить треугольник, подобный исходным. Возможно решение из 6 частей ( каждый треугольник разрезается на 3 части). Но и решение с бОльшим количеством частей будет хорошим результатом

www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,11590.msg88402.html#msg88402

Мне пока, в силу врождённого скудоумия, так и не удалось найти «загаданное» ув. тов. hripunov решение в 3 + 3 = 6 частей, поэтому пришлось идти стандартным, незамысловатым и рутинным путём, развивая стандартный метод перекройки треугольника в квадрат. На этот стандартный 4-х-кусочный метод ув. тов. hripunov намекнул в посте
www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,11583.msg87746.html#msg87746
 
Поняв из пары рисунков, в чём суть проиллюстрированного там метода, не сложно сообразить, как перекроить и треугольник в квадрат. А затем и трапецию в квадрат. Но дальше я думал, что этот метод ограничен перекройкой только в квадрат. Но, применив пространственное воображение в стиле «проективной геометрии», я осознал, что можно таким же методом перекроить и в прямоугольник. А далее осознал, что и в параллелограмм, а затем и в трапецию. Поковырялся не мало часов, и получилось обобщить этот метод и применить для перекройки треугольника в трапецию, что и использовал для решения данной задачи № 8.

В итоге, здесь один из треугольников оставляется нетронутым, а второй треугольник перекраивается в оставшуюся трапецию обобщённым стандартным 4-х-кусочным методом. Итого требуется 1 + 4 = 5 частей.

====================================================

П.с. Остальные задачи из этой темы, так или иначе, решены мною в теме
www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,11475.msg87778.html#msg87778

П.п.с. Также не составляет труда перекроить прямоугольник в другой прямоугольник очевидным и простым 3-х-кусочным методом. И, комбинируя перекройки треугольников, прямоугольников, парал-граммов и трапеций др. в др., можно что угодно перекроить во что угодно. Другое дело, будет ли это самый короткий путь. Но, если не знаешь изящного и короткого пути, всегда можно исходную и конечную фигуры независимо перекроить, например, в квадрат, а потом наложить полученные квадраты др. на др. и так получить набор деталей.

За сим, позвольте откланяться.

Tugrik,    8-7 частей - тоже хороший результат.  Это означает, что  решающий  освоил суть: сведение начальных фигур  в некие параллелограммы, из которых можно сделать новые треугольники.
  Как Сезанн говорил "Всё в природе лепится в форме шара, конуса, цилиндра" - так и в задачах на разрезание нужно пытаться изначальную фигуру сначала превратить в простую форму, из которой потом слепить новую.
 Решение за 6 частей подходит не для любого треугольника, а только для такого, который более-менее компактный, т.е.  треугольник с тупым углом не всегда подойдет.      Вот для  такого, который изображен в условии  , например, можно решить задачу из 6 частей.   
Но , опять -таки повторюсь, эти задачи - только для любителей, т.к. практического смыла в них   нет.  Особенно в нашу машинную эпоху.     Если  еще теплится спортивный интерес, то решите задачу " перекроить прямоугольный равнобедренный треугольник в равносторонний треугольник".