Кусок проволоки и нить

[hripunov]

Кусок проволоки согнули в виде плоского квадрата со стороной 1 и подвесили за середину стороны на тонкой нити. Квадрат повис так, что две его стороны приобрели вертикальное положение, а две - горизонтальное.
Потом одно  боковое звено убрали, а оставшуюся проволоку изогнули в узлах и снова подвесили за середину прежнего звена. Проволока повисла так, что верхнее и нижнее звенья снова оказались горизонтальными.
Насколько ближе к оси нити расположен нижний узел относительно верхнего?

[Ygrek]

Кусок проволоки согнули в виде плоского квадрата со стороной 1 и подвесили за середину стороны на тонкой нити. Квадрат повис так, что две его стороны приобрели вертикальное положение, а две - горизонтальное.
Потом одно  боковое звено убрали, а оставшуюся проволоку изогнули в узлах и снова подвесили за середину прежнего звена. Проволока повисла так, что верхнее и нижнее звенья снова оказались горизонтальными.
Насколько ближе к оси нити расположен нижний узел относительно верхнего?

Думал тут можно придумать какой-нибудь интересный геометрический трюк, поприставлял куски проволоки к разным местам, чтобы получить какую-нибудь интересную фигурку (дополнительное построение), но ничего проще, чем просто отбрасывание симметричных горизонтальных кусков не получается. Значит это - не геометрическая задача, а просто на равенство моментов силы тяжести слева - от наклонного участка, а справа - от оставшегося нижнего горизонтального куска после отсекания от него симметричного кусочка, который есть слева.
Масса кусков проволоки равна длине этих кусков. Центр тяжести куска нах. посередине отрезка.

Всё вышесказанное, конечно, не исключает чисто геометрический метод, но он явно не будет проще правила рычагов - равенства моментов сил тяжести кусков. Разве что если задаться целью не использовать физическое решение.

[hripunov]

Ygrek, а ответ-то у Вас какой ?
А я тут уже второй вопрос  приготовил - тоже простая дробь получается:

Если проволоку в виде П-образной ломаной , у которой все три звена равны 1,  подвесить за конец ноги, на каком расстоянии от оси подвеса окажутся ее узлы?

[Ygrek]

Ygrek, а ответ-то у Вас какой ?
А я тут уже второй вопрос  приготовил - тоже простая дробь получается:

Если проволоку в виде П-образной ломаной , у которой все три звена равны 1,  подвесить за конец ноги, на каком расстоянии от оси подвеса окажутся ее узлы?

Эти дни ужасно занят и устаю. И так будет ещё долго. Не до алгебры. У меня итак тут долг висит сказать, как правильно решать мою задачу про вращающийся шарик с двумя пружинами. Но зато во время работы я придумал уже 4 разных доказательства Рацевского вопроса "Доказать, что круги пересек. не более чем в 2 точках". Там, правда, везде всё зависит от того, что уже считается доказанным. Совсем чисто только на определении окружности как ГМТ, равноуд. от центра, пока не получилось.

А в этой задаче, кстати, если искать чисто геом. решение, можно дорисовывать сколько угодно вертикальных отрезков любой длины как продолжение нити - они не влияют на равновесие, ибо нах. строго под точкой подвеса. И так получить слева треугол, центр массы кот. нах в точке пересеч. медиан.
Для правой части подрисовать гипотенузу, чтобы тоже найти центр масс треугла. А для равновесия слева симметричный подрисованной гипотенузе отрезок, ЦМ которого легко найти. Масса каждой фигуры равна периметру.

Такую же xepню, в принципе, можно делать и для предыдущей задачи.

[hripunov]

Ну ладно, подождем. Я то вообще полагал, что задачи можно скоренько на бумажке решить. Вся "забава" только в том, что ответы для каждой из задач - простые дроби. Вторая - так вообще подсчетная - нужен только нехитрый поиск центра тяжести и нахождение наклона.  В первой нет параметров окончательной фигуры, требуется их  найти . Сделать это можно с помощью нехитрого уравнения.

[Ygrek]

По первой.

c = (1/2 + x)/2
d = 1/2 - x

Массы левого синего куска и чёрного нижнего куска равны по 1 (их длина).
Правило равенства моментов сил тяжести по отн. к нити: МэЖо∙с = МэЖо∙d. =>

с = d

(1/2 + x)/2 = 1/2 - x
x = 1/6
? = 1/2 - 1/6 = 1/3

[hripunov]

Ygrek , верно 

[Ygrek]

По второй.

Красивого решения мне найти не удалось. Решал рутинно в лоб.  Ниже привожу короткую эвристическую версию решения.

Решал так же как и первую: приравнивая нулю сумму моментов для центров всех трёх кусков АВ, ВС и CD. Масса каждого куска = 1 (его длина).

Для нахождения центров использовал тупо геометрические соотношения сторон и углов прямоуглых треуглов.
    Предположил, что фигня отклонится на угол α. Потом
|BE| = sinα
Подобие треуглов BEF, FKC и HLC.
Нашел, что
tgα = 1/2 + X
Затем нашёл главные числа:
Х = 1/4
(Т.е. получилось, что точка F разделяет отрезок [GC] пополам.)
sinα = 3/5.
От них нашел
|BE| = 3/5
|FK| = 1/5.
Забавно, что
|JH| = 1/2.
Всё это при угле α = 36.86989765°.

В общем в моём некрасивом решении всё красиво посокращалось, что говорит о том, что возможно короткое красивое эвристическое решение. Но искать его щас некогда, поэтому выложил наспех какое есть, чтобы на некоторое время ретироваться со смекалки и заняться решением реальных жизненных задач, далёких от математики.
    Но определённые оптимизации уже со второго взгляда просвечиваются. Например, видно глазами, что f = (sinα)/2, e = d. Это может сильно сократить решение. Это даёт, что вклад в момент от отрезка CD равен вкладу от отрезка АВ плюс ещё добавочное плечо е.
Т.о. справа от нити остаётся плечо е, а слева от нити - плечо d.

О! Вот и короткая эвристическая версия решения вылупилась:

========================

Короткая эвристическая версия решения. См. второй рисунок.

1) вклад в момент от отрезка CD равен вкладу от отрезка АВ плюс ещё добавочное плечо е. Т.о. сокращаем вклады от отрезков АВ и CD и остаётся вклад от добавочного плеча е.
Иными словами, мы можем синхронно придвинуть оба отрезка АВ и CD к нити на расстояние f. Тогда ЦМ отрезка АВ окажется на нити и выйдет из игры. А отрезок CD окажется на расстоянии е от нити. (Это - моё только-чтошное изобретение так делать). Это будет справа.
2) А слева у нас ещё вклад от отрезка ВС, который имеет плечо d.
3) Т.о. получается, что

d = e.

И отсюда следует, что точка F делит отрезок GC пополам, а отрезок ВС делит на 3/4 и 1/4.
Отсюда получаем, что

X = 1/4

4) Получилось, что в прямоуглом треугле ABF один катет АВ = 1 (по условию), а второй катет BF = 3/4. И, зная это, мы можем найти искомую высоту ВЕ этого треугла. Например, площадь прямоуглого треугла равна 1∙3/4. Также она равна высота∙гипотенузу:

1∙3/4 = |BE|∙√[1² + (3/4)²].

Отсюда

|BE| = 3/5.

5) Из пропорций подобных треуглов BEF и GPF имеем:

d/X = |BE|/|BF|
d/(1/4) = (3/5)/(3/4)

d = (1/4)∙(3/5)/(3/4) = (3/5)/3 = 1/5.

|FK| = 1/5.

[hripunov]

Ygrek , верно

Мое решение - как второе :
После  геометрического  нахождения центра тяжести буквы П замечаем, что угол между вертикалью, и сторонами буквы П получается такой, что все треугольники здесь - египетские ( с соотношением сторон 3,4,5). Искомый отрезок находим из подобия треугольников.

[Ygrek]

Ygrek , верно

Мое решение - как второе :
После  геометрического  нахождения центра тяжести буквы П замечаем, что угол между вертикалью, и сторонами буквы П получается такой, что все треугольники здесь - египетские ( с соотношением сторон 3,4,5). Искомый отрезок находим из подобия треугольников.

Наши с Вами решения принципиально отличаются. Я решал по закону физики о правиле рычагов, и рассматривал каждый рычаг силы тяжести для каждого из отрезков с его конкретной массой (здесь, длиной) по отдельности и складывал их, и приравнивал сумму нулю. Я вообще не искал центр массы всей конструкции, тем самым избежав геометрического нахождения ЦМ.
Вы же, наоборот, сразу нашли ЦМ и провели нитку через него.

Наши методы совсем разные, и это дело вкуса или умения, какой из них выбрать.
В наших методах для упрощения решения мы оба использовали некие эвристические ходы – некие находки, позволившие избежать лишних вычислений. Моя находка – это синхронное придвижение кусков с одинаковой массой вплоть до линии подвеса, чтобы рычаг одного из кусков стал равен нулю и выбыл из игры.
 
Вашу же находку я не понял. Мне не понятно, что даёт факт, «что все треугольники здесь - египетские», кроме, разве что, что в ответе не будет корней, а простые дроби. То, что будет много подобных прямоуглых треугольников – это да. Но какая разница, египетские они или нет?

=======================================================

Если ставить цель решить именно без использования физики, а лишь зная, что ЦМ должен быть расположен точно под точкой подвеса, то я решал бы так.

Эвристическим элементом решения было бы то, что для нахождения ЦМ треугла мы рисуем медианы. А медианы делят др. др. на отрезки 2:1. Это и дало бы нам упрощение. См. рис..

Центр масс точка СМ разделит медиану MidL на отрезки |Mid,CM|:|CM,L| = 2:1 и медиану GN на отрезки|G,CM|:|CM,N| = 2:1. Точка L будет серединой отрезка GH и будет находится над серединой отрезка GC точкой F.

А то, что линия нитки А,СМ будет проходить через середину отрезка GC (т.е. через точку F) будет следовать, например, из того, что треуглы ABF и CM,GF подобны, а катеты их равны, соотв., 1 и 3/4, 1/3 и 1/4, т.е. относятся в обоих этих треуглах как 4:3.

Далее, вычисляем гипотенузу треугла ABF |AF| = √(1² + 3/4²) = 5/4.
И из подобия треуглов ABF и CKF находим |KC| = |FC|∙|AB|/|AF| = 1/4 ∙ 1 / 5/4 = 1/5.

Аналогично и для расстояния х точки В до нити. Там гипотенуза известна и равна 1. Из подобия треуглу ABF находим
х/1 = (3/4)/(5/4).
х = 3/5.

[hripunov]

Ygrek, не знаю, можно ли назвать эти методы принципиально разными. В обоих  геометрии и физики намешано примерно в одинаковом соотношении.  А то, что вдруг в задаче со скобой "П" с равными звеньями всплыл египетский треугольник, лично для меня стало удивительным сюрпризом.

[Ygrek]

Ygrek, не знаю, можно ли назвать эти методы принципиально разными. В обоих соотношение геометрии и физики в одинаковом соотношении.  А то, что вдруг в задаче со скобой "П" с равными звеньями всплыл египетский треугольник, лично для меня стало удивительным сюрпризом.

Для меня типа сюрпризом стало то, что ЦМ правого отрезка CD нах. на расстоянии 1/2 от нити, ну а ЦМ суммы левого и нижнего отрезков, следовательно, на расстоянии 1/4.
Также забавно, что фиолетовый круг с центром в точке Mid(J,G) (т.е. где ЦМ суммы левого и нижнего отрезков) оказался вписанным в треугол ABF. Вобщем, какие-то "золотые пропорции".