"Через точку А вне прямой а в плоскости, проходящей через А и а, можно провести лишь одну прямую, не пересекающую а."
Вы про это? Помоему это полностью логично и рационально, как впрочем и все остальные аксиомы. Это как доказывать, что 1+1=2.
Неужели необходимо доказывать столь очевидные вещи?
Где же тут логичность? Это - только эмпирические предпосылки для создания какой-то логичной взаимоувязанной системы, которая будет действовать там, где мы условно примем верными эти эмирические предпосылки / кстати, иногда не всегда эмпирические, а иногда и "высосанные из пальца", в таком случае это будут не аксиомы, а постулаты для очередной формально выстроенной теории/.
В случае евклидовой геометрии - она создана на базе этих аксиом и действует только там, где приняты эти аксиомы.
На неевклидовой плоскости она не действует, а превращается в "нелогичные" и "нерациональные" теоремы.
Да и 1+1=2 мы не везде можем применить.
Наверное, формулировка "одна бесконечная вселенная плюс еще одна бесконечная вселенная равно две бесконечные вселенные" любому покажется нелогичной и не рациональной.
