горизонтальный монитор

[Анатолий Ухванов]

На гладкой вертикальной стене BD закреплён монитор M, как показано на рисунке: приблизительно горизонтально — так, чтобы пользователю FG с глазами G, лежащему горизонтально на спине перпендикулярно этой стене под монитором, было удобно в него смотреть. Невесомая доска AC висит на двух невесомых верёвках AB и BC. Монитор прикреплён к доске в точке E.



Очевидно, что если BC и AE будут достаточно малы, то натяжение верёвки BC ослабнет, доска AC развернётся вертикально и монитор шлёпнется об стену.

При каких условиях этого не произойдёт?

Восстановим перпендикуляр AD к стене BD. Согласно моим подсчётам, на основе второго закона Ньютона и условия равновесия рычага, система находится в состоянии неустойчивого равновесия, когда AE/CE=CD/BC. Это выглядит правдоподобным.

Но не могу понять: каков физический смысл этой пропорции? Как логически это объяснить? Формально применив законы и правила, я получил такую вот красивую пропорцию, ну и как мне теперь её понять с физической точки зрения? Почему эта пропорция такова? Есть ли какое-то более простое и наглядное объяснение для этой пропорции, кроме системы уравнений из закона Ньютона и правила моментов?

[Tugrik]

Пропорция, как таковая, не может иметь какой-либо физический смысл. Физ. смысл имеет либо закон сохранения энергии, либо принцип, что потенциальная энергия системы не должна повыситься.
Тут надо рассматривать как будет двигаться точка Е при "схлопывании" конструкци (т.е. её траектория), не важно, сама она схлопывается или мы её схлопываем против её воли. Если точка Е расположена так (с учётом всех пропорций), что при начале схлопывания она начнёт двигаться вверх - значит потенциальная энергия станет расти, что противоречит упомянутому выше принципу, а значит конструкция устойчива. Если точка Е начнёт двигаться вниз, то потенциальная энергия уменьшается, что и должно происходить по физическим принципам, и значит конструкция неустойчива. Если точка Е расположена так, что после схлопывания она останется на том же уровне (см. рисунок), то это и есть то самое граничное положение устойчивость-неустойчивость.
Вообще, причём тут устойчивость? Не очень подходящий термин в данном случае. Это вы меня сбили на это слово.

Я не проверял правильность вашего решения. Задача больше геометрическая, чем физическая, а я не силён в математике. Если StrannikPiter удосужится разрисовать траекторию движения точки Е, чтобы наглядно показать, движется ли она вверх или вниз при схлопывании в зависимости от её расположения на доске, то значит будет эстетизм.

Короче, "физический смысл" вашей пропорции, видимо в том, что это есть пограничное расположение точки Е, дающее сохранение её высоты при схлопывании конструкции и, тем самым, не нарушения принципа сохранения энергии, т.е. неповышения потенциальной энергии.
   Если точка Е будет расположена левее, т.е. отрезок АЕ будет короче, то новое расположение точки Е после схлопывания окажется ниже изначального, что приведёт к самопроизвольному схлопыванию. А если точка Е будет расположена правее, т.е. отрезок АЕ будет длиннее, то новое расположение точки Е после схлопывания окажется вышее изначального, что означает, что самопроизвольного схлопывания не будет.

Вообще, мне кажется, вы и сами всё это знаете.

[StrannikPiter]

Физический смысл такой - при движении доски вверх по стене центр тяжести системы будет меняться. Если ЦТ будет подниматься, то получим устойчивое равновесие, если опускаться - получим удар монитором по стене.

И несколько ремарок:
1. Ничего не сказано про трение доски по стене, видимо подразумевается, что оно отсутствует.
2. Ничего не сказано про способ крепления монитора к доске. Он подвешен на нити к точке Е, как елочная игрушка? Если нет, и монитор закреплен жестко, тогда для расчетов нужно учитывать положение его центра тяжести, а вот положение точки Е в этом случае не будет иметь значения.
3. Не понятно при чем тут второй закон Ньютона, ведь задача чисто статическая? Или Вы заодно рассчитали скорость монитора при ударе об стену?

[Анатолий Ухванов]

Вообще, мне кажется, вы и сами всё это знаете.

Про положение точки E и сохранение потенциальной энергии — это я не подумал. А следовало бы. Потому и стал решать через рычаг.
Хм. Ну хоть бы геометрическое объяснение моей пропорции — тоже было б приятно. Но даже с учётом предложенного Вами геометрического решения через закон сохранения — всё равно никак не могу прийти к той же самой пропорции. Может, я ошибся в расчётах методом рычага, и моя пропорция неверна? — Не знаю.
Но Ваше решение, конечно, в разы наглядней, спасибо! Мне следовало самому, конечно, догадаться.

Вообще, причём тут устойчивость? Не очень подходящий термин в данном случае. Это вы меня сбили на это слово.

Ну, есть такой термин в физике, устойчивое равновесие. Ну и есть неустойчивое. Оттуда и слово. В данном случае меня интересовал граничный случай => неустойчивое равновесие.

StrannikPiter, Вам тоже спасибо за ответ!

1. Ничего не сказано про трение доски по стене, видимо подразумевается, что оно отсутствует.

На гладкой вертикальной стене BD закреплён монитор M

Сказано, что стена гладкая. Обычно в задачах по физике так обозначают отсутствие трения. Но слово «гладкая» я приписал при правке первого поста, так что если Вы читали его из email-уведомления, а не на сайте, то в письме этого слова ещё не было, а на сайте уже было.

2. Ничего не сказано про способ крепления монитора к доске. Он подвешен на нити к точке Е, как елочная игрушка? Если нет, и монитор закреплен жестко, тогда для расчетов нужно учитывать положение его центра тяжести, а вот положение точки Е в этом случае не будет иметь значения.

На рисунке я имел в виду на нити, как ёлочная игрушка. А на самом деле (он ведь реально висит над моей головой сейчас), он закреплён жёстко на доске, но центр тяжести близок к точке E — достаточно, чтобы их отдалением в задаче можно было пренебречь. Строго говоря, и верёвки-то к доске крепятся не в точках A и C, а на расстоянии в 5 см от них, но этим тоже можно пренебречь в задаче.

3. Не понятно при чем тут второй закон Ньютона, ведь задача чисто статическая? Или Вы заодно рассчитали скорость монитора при ударе об стену?

Я решал не самым простым способом, а, как это сейчас принято, через ж. А именно, получил систему трёх уравнений: одно уравнение — правило рычага; второе и третье — закон Ньютона в проекциях на две оси. Ньютона я приплёл сюда следующим образом: раз система находится в равновесии и без движения, значит, сумма сил равна нулю, и сумму их проекций на любую ось можно приравнять к нулю, что я и сделал. Мы, кстати, кажется, даже в школе так решали некоторые задачки, приплетая Ньютона к статике. Да и он не возражал