Вот решение Ygreka/Tugrikа!
Часть первая - общие тары-бары + решение для крайнего случая.
Введение:
Сразу, пока не забыл, обсужу некоторые практические аспекты, а потом, отбросив все подобные практические аспекты, приведу чисто теоретическое решение.
На практике очень важными могут оказаться такие вещи:
Если ткань не бесконечно тонкий и абсолютно гибкий и т.д. материал, а, например, листовая резина конечной толщины, то тут возникает нюанс «внутренних напряжений в рулоне». Загнутая резина «хочет» распрямиться. Она как заряженная пружина будет распрямляться и ускорять себя. И наоборот – если рулон пролежал очень долго, и резина уже «привыкла» быть согнутой, то тогда при раскручивании рулон будет сопротивляться и хотеть закрутиться назад, что будет тормозить размотку.
Если рулон при закручивании сильно натягивали, то в рулоне запасутся механические напряжения и дополнительная упругая энергия, что тоже проявит себя при освобождении рулона. Желание рулона увеличить свой диаметр приведёт к ускорению. А желание листа сократиться до нормальных размеров, наверное, будет тормозить (не уверен в этом).Ещё, если учитывать внутренние трения (как внутри самого материала, так и межслойное), ведущие к потере энергии, то раскр. рулон теряет часть скорости.
Для цельного рулона это всё иррелевантно. Ещё много всего типа проминания-сминания
Теперь голая теория.
Все задачи на законы сохранения не рассматривают никакие нюансы и причины и не рассматривают процессы по середине истории, а только что было в самом начале, и что стало в самом конце.
Допустим, для определённости, что длина ската как раз равна длине полотна, и допустим высота горки H и радиус рулона h<<H (для простоты).
1) цельный рулон.
В начале его энергия была только потенциальная и равнялась mgH. В конце ската он будет иметь только кинетическую поступательную + вращательную энергию ½ mv2 + ½ Iꙍ2 = ¾ mv2 . Какая бы скорость v ни была, она будет конкретная и конечная v2 = 4/3∙gH.
2) раскатывающийся рулон.
В самом начале всё было также как и у цельного рулона: в начале его энергия была только потенциальная и равнялась mgH.
Рассмотрим что будет почти в самом конце спуска, когда рулон почти полностью раскатался и масса нераскатанного рулона mостаточное уже почти ноль.
В конце ската практически вся его масса лежит неподвижно и равномерно на склоне спуска, и высота центра массы будет H/2. Т.о. основная масса рулона спустилась только на высоту H/2, а не H, как было в первом случае (т.е. половина потенциальной энергии потерялась). Значит в конце полная энергия равна mgH/2 + Eкин . Отсюда Eкин = mgH-mgH/2 = mgH/2 = 3/4∙mостаточноеv2 .
Отсюдова v2 = 2/3∙gH∙m/mостаточное . Но так как mостаточное -> 0, то скорость v -> ∞ стремится к бесконечности. Ну, если даже и не к бесконечности, то в любом случае отношение m/mостаточное растёт по мере размотки, и, стало быть, скорость тоже растёт благодаря этому множителю.
Таким образом, мы видим, что для второго случая имеется постоянно растущий множитель m/mостаточное и, следовательно, скорость раскатыв. рулона растёт не только пропорционально изменению H (как в первом случае), но ещё и благодаря этому мощному множителю.
mостаточное = m - mраскатанное есть линейная функция от высоты, а m/(m - mраскатанное) стремится к бесконечности как 1/х при х ->0.
Важное замечание. Все вышеприведённые рассуждения нельзя рассматривать как строгое решение, а лишь как иллюстрацию и качественный ответ на вопрос "Кто быстрее". Это, в частности, потому, что если сравнить множители при gH для обоих случаев:
1) v2 = gH∙4/3 - 4/3 всегда >1
2) v2 = gH∙2/3∙m/mостаточное - 2/3∙m/mостаточное сначала =2/3 и < 4/3, и только через некоторое время становится >4/3, когда m/mостаточное уже достаточно подрастает.
И получается, что по началу, пока m/mостаточное мало, цельный рулон как бы даже быстрее движется, что противоречит всей идее моего решения.
Но, как бы там ни было, сам подход и идея, я считаю, правильные, и позволяют рассчитать скорость для любого промежуточного случая H и убедится, что скорость во втором случае будет всегда выше (если кто не верит).
Кто-то может закричать: "Ничего себе! Половина потенциальной энергии потерялась!". Но это только в самом конце так будет, когда роль множителя m/mостаточное уже очень велика и он по любому перевесит. Действительно, потеря недоиспользованной потенциальной энергии mgH/2 (как в самом конце), на первых порах не будет столь велика, так как размотается очень малая часть тряпки, а в месте с ней и недоиспользованная потенциальная энергия будут очень малы.
P.S. Если условие, что h<<H не соблюдается (например, толстый рулон и пологий склон), то для второго случая h нужно учесть: Eкин = mg(H+h) - mgH/2 = mg (H/2 + h). И v2 = g(H+2h)m/mостаточное, но это никакого принципиального значения не имеет: скорость будет немного побольше, и также будет ->∞.
Вторая часть с общим решением для произвольного случая
Рассмотрим такой склон, у которого длина пологой части равна длине раскатанного рулона, т.е. в самом низу рулон аккурат размотался. Пусть сначала масса обоих рулонов равна M.
1) случай цельного рулона на высоте d.
Полная энергия рулона вначале (на высоте H) = MgH.
Полная энергия рулона где-то посередине (на высоте d) = Епот, d + Екин, d = Mgd + 3/4∙Mv12
Приравниваем, получаем
MgH = Mgd + 3/4∙Mv12 , откуда для члена 3/(4g)∙v12 получаем:
3/(4g)∙v12 = H-d (1)
2) случай раскатывающегося рулона на высоте d.
Масса остатка рулона m = M∙d/H
Масса размотанной и неподвижно лежащей части m' = M - m = M(1-d/H) и центр её находится на высоте (H+d)/2
Полная энергия рулона вначале (на высоте H) = MgH.
Полная энергия рулона где-то посередине (на высоте d) состоит из трёх членов и равна = Епот. раскрученной части, d + Епот. остатка, d + Екин. остатка, d = M(1-d/H)g(H+d)/2 + M∙d/H∙gd + 3/4∙M∙d/H∙v22
Приравниваем, получаем:
MgH = M(1-d/H)g(H+d)/2 + M∙d/H∙gd + 3/4∙M∙d/H∙v22
откуда для члена 3/(4g)∙v22 получаем:
3/(4g)∙v22 = (H2/d - d)/2 (2)
Теперь давайте сравним (1) и (2).
Графики строить не буду, а просто подставлю несколько чисел. Пусть, например, H = 10, и d =
a) d = 1. Тогда (1) = 9; и (2) = 49,5 => (2) > (1)
b) d = 9. Тогда (1) = 1; и (2) = 1,0555 => (2) > (1)
c) d = 9,9. Тогда (1) = 0,1; и (2) = 0,100505 => (2) > (1)
Выводы:Видно, что при всех d, т.е. во всех случаях скорость раскручивающегося рулона (случай 2) ) больше, чем скорость цельного рулона.
Я тут всё это вычислял лишь для доказательства, ибо всё это и так сразу было понятно. Но для тех, кто не понимает, скажу одну простую вещь:
Энергия сохраняется. Если сначала какой-то участок рулона двигался и имел кинетическую энергию, а потом неподвижно улёгся на склон, то его кинетическая энергия никуда не пропала, а сохранилась и перешла в движущийся остаток рулона. И тут нету никакого чуда. Тот элемент ткани, который упокоился на склоне, вовсе не затормозился - он ведь итак был неподвижным в момент касания рулоном поверхности склона. Но разница с цельным рулоном в том, что у цельного рулона этот элемент после касания опять задрался вверх, а у разматывающегося так и остался на месте.
