На окружности отмечено n точек. Известно, что среди всевозможных расстояний между двумя отмеченными точками не более 100 различных. Каково наибольшее возможное значение числа n?

Ответ: Докажем, что наибольшее число точек, расположенных на окружности так, что среди всевозможных попарных расстояний между ними не более ста различных, равно 201. Предположим, что таких точек более 201 и A - одна из них. Рассмотрим диаметр AB. С одной стороны диаметра (включая точку B) будет расположено не менее 101 точки нашего набора. Все расстояния между ними и точкой A различны, что противоречит условию. Пример из 201 точки, удовлетворяющих условию, дают вершины правильного 201-угольника.