У Феди есть три палочки. Если из них нельзя сложить треугольник, Федя укорачивает самую длинную из палочек на сумму длин двух других. Если длина палочки не обратилась в нуль и треугольник снова нельзя сложить, то Федя повторяет операцию, и т. д. Может ли этот процесс продолжаться бесконечно?

Ответ: Да, может. Рассмотрим на примере.

Возьмем многочлен P(x) = x³ - x² - x - 1. Т.к. при x=1  P(1)<0, а при x=2  P(2)>0, то многочлен имеет корень t, больший 1.

Подставим t в многочлен и приравняем к нулю: t³ - t² - t - 1 = 0, отсюда t³ = t² + t + 1 > t² + t

Возьмём длины палочек равными (t³, t², t). Треугольник из них сложить нельзя, а длина самой длинной палочки будет t³. После первого отпиливания длины станут (t³ - t² - t,  t², t) = (1,  t², t ) или в другом порядке ( t², t, 1). Так как отношение длин не изменилось, процесс будет продолжаться бесконечно.