Фокусник с помощником собираются показать такой фокус. Зритель пишет на доске последовательность из 10 цифр (допускаются повторы). Помощник фокусника закрывает одну цифру черным кружком. Затем входит фокусник. Его задача - отгадать закрытую цифру. Как фокусник может договориться с помощником так, чтобы фокус гарантированно удался?

P.S. Ассистент никак не подсказывает фокуснику и не подает тайных знаков, зритель никак не связан с фокусником и действиельно пишет произвольную последовательность.

Ответ: Один из вариантов. Пусть S - сумма всех цифр на доске. Помошник должен  закрыть  цифру на позиции S%10, считая слева (  S%10 - остаток от деления S на 10 ). Вошедший фокусник видит перед собой (S-d)%10, где d - закрытая цифра. Отсюда он может однозначно вычислить d = ((10 - ((S-d)%10)) + (S%10))%10.

Пример: Пусть цифры - 3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3. Первая цифра стоит на месте под номером ноль, десятая - под номером 9. S = 3+1+4+1+5+9+2+6+5+3 = 39. Остаток от деления 39 на 10 равен 9, значит помошник закрывает цифру на месте номер 9, т.е. последнюю, тройку. Фокусник видит цифры 3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, ?. Сумма цифр - 36. Какую цифру необходимо подставить на последнее место, чтобы остаток от деления на 10 стал равен 9 = порядковый номер вопросительного знака? Правильно, 3.

Обсуждение задачи на форуме - про фокус