Парадокс Бертрана

В трех одинаковых комодах по два ящика в каждом. В каждом ящике комода А - золотая монета, в каждом ящике комода Б - серебряная монета, а в комоде В - серебряная монета в одном ящике и золотая - в другом. Вы открываете один из шести ящиков наугад и находите в нем серебряную монету.

Какова вероятность того, что в другом ящике этого же комода находится золотая монета?

Ответ: Понимая, что речь идет о комодах Б или В, большинство людей сразу же ответит, что вероятность 1/2. Однако мы здесь имеем дело с ящиками а не комодами. Правильный ответ - 1/3.

Три оставшихся ящика этих двух комодав имеют одинаковую вероятность, но только один предпочтительнее. Это - ящик с серебряной монетой в комоде В. Вероятность того, что комод В будет открыт сразу, составляет 1/3 и остается 1/3 после того, как ящик открыт и в нем найдена серебряная монета, так как золотые и серебряные распределены одинаково по ящикам и комодам. Тот, кто поставил на комод В, не сочтет свои шансы лучше или хуже после того, как серебряная монета будет найдена в первом открытом наугад ящике.

Добавить комментарий

Млин, я рассчитал для 3 ящиков. Если в комоде 2 ящика то вероятность 33,3%(вероятность попадания в комод Б -66% , в комод В - 33,при попадании в комод Б мы имеем 0 шансов на золото , а в В -100% - значит 33 % правильная вероятность.

не надо считать шансы на попадания в комод с золотом. надо считать вероятность того, что во ВТОРОМ ящике комода, если в ПЕРВОМ ящике серебро. вероятность 1/2 - либо второй ящик комода Б, либо второй ящик комода В (ведь первый ящик открыт уже и там серебро)

обозначение "А" "Б" и "В" условное, вы не знаете где что лежит иначе первый комод теряет смысл в корне, а судя по вашей логике, если вы знаете что в первом (А) комоде только золото тогда вы должны знать что и в других, а естестно и знали от куда вытянули серебро....если это комод "Б", то нужно тянуть золото с комода "В" тоесть 1/2))...ну а если вы вытянули серебро с комода "В" так это вообще 100% удачи)))...Три комода(6 ящиков) 3 золота и 3 серебра...открыли на угад один ящик( комод может быть как "А" так и "Б" и "В"), вытянули серебро, тоесть у нас осталось 5 ящиков, 3 золота и 2 серебра!!!...3из 5!

совсем не то.
Комод А исключаем.
Остается либо второй ящик в комоде Б, либо второй ящик в комоде В. Вероятность 1/2. Всё просто.

Да, и название - Парадокс Монти-Холла.

Нет, парадокс Монти Холла - это другой парадокс, но он тоже имеет отношение к теории вероятностей. На сайте, кстати, про него тоже есть задача.

1. всего три ящика с сереб.монетой, вероятность каждого ящика 1/3
2. вероятность что мы нашли сереб.монету в комоде А - ноль, в комоде Б - 2/3 (1/3+1/3), в комоде В - 1/3.
3. золотая монета в комоде В, вероятность того, что мы в нем - 1/3 = вероятность найти золотую монету во втором ящике комода В - 1/3.
4. вероятность 1/2 найти золото во втором ящике была бы если бы в комоде Б один из ящиков был бы пустой.

Согласен. В этом и суть.
А если бы в одном из ящиков комода Б не было бы ни серебра, ни золота, тогда вероятность равнялась бы 1/2.

вы не правы!

вероятность что мы нашли сереб.монету в комоде А - ноль, в комоде Б - 2/3 (1/3+1/3), в комоде В - 1/3.
а как вы определили где комод "А"?!?! :D

Условие задачи не корректно!!! зачем нужен первый комод "А" в условии, если само условие и говорит о том что там два ящика с золотом, тогда остаются два комода четыре ящика....так тут "горный баран" решит, один ящик открыли с серебром осталось три ящика...то есть два серебра и одно золото, естестно 1/3...33.3% на нахождение золотой монеты!!!!!

а вот если из условия убрать то что мы знаем в каких ящиках и комодах где что лежит, то тут открыв из шести один ящик с серебром, остается 5 ящиков, то есть в них остается 3 золота и 2 серебра, а это 3/5...60% шансов на нахождение золотой монеты!!!

Самый лучший ответ!

Ставлю лайк!

Те кто за 1/2 - читайте теорию вероятности! Вы ещё так ничего и не поняли.

Переформулируем условие: Вам притащили серебряную монету. Из какого комода её достали? Ответ: скорее всего из комода Б, потому что их там НЕМЕРЕНО. Если понятней будет, то так: из комода Б Вы сразу достанете серебряную, а в камоде В надо ещё покопаться.

У нас 3 серебрянных монеты. Попав в 1 из 3 мы добудем золото. Будьте проще. 1\3.(Данил)

Решение автора неверно.
Автор пишет: "Три оставшихся ящика этих двух комодав имеют одинаковую вероятность..."
Это не так.

То, что в условии сказано "этого же комода" означает, что мы можем идентифицировать ящики попарно как "левый"-"правый", или "белый"-"серый", или "верхний"-"нижний" и т.п.
Возьмем, например, "верхний"-"нижний".
Допустим мы открыли "верхний" ящик комода. Тогда следующий ящик, который мы собираемся открыть будет "нижний" ящик.
При этом существенно, что все "верхние" ящики всех комодов уже "вышди из игры"!!!
"Нижних ящиков" осталось только два!!! (а не три, как считает автор задачки): один в комоде Б и один в комоде В (комод А уже не в счет по понятной причине).
При этом в одном из "нижних" ящиков серебренная монета, а в другом "нижнем" ящике золотая. Соответственно вероятность попасть на золотую равна 1/2.

Неправомерность рассуждения автора легко показать на следующем примере.
Пусть есть 2 комода, в каждом по 100 ящиков. В одном комоде во всех ящиках серебренные монеты, в другом комоде 99 ящиков с серебренными монетами и один ящик с золотой. Открыв 99 ящиков в одном из комодов вы обнаружили только серебренные монеты. С какой вероятностью вы обнаружите золотую в последнем ящике этого же комода?
По "логике" автора 1/101, т.к. осталость 101 не проверенных ящиков, имеющих одинаковую вероятность))
Но это очевидно не так.

Вот если в приведенном мною контр-примере (с двумя комодами по 100 ящиков) изменить условие открытия ящиков с "Открыв 99 ящиков в одном из комодов..." на "Открыв случайных 99 ящиков в обоих комодах...", и спросить с какой вероятностью вы обнаружите золотую в следующем случайно открытом ящике, то ответ будет именно 1/101 !!!, т.к. осталось 101 непроверенных ящиков, имеющих одинаковую вероятность!

В Вашем контрпримере вероятность действительно равна 1/101, как бы это не казалось странным. В том-то и дело, что у нас есть 101 непроверенный ящик. Ведь в условии не сказано, что золотая монета лежит в каком-то конкретном ящике (например, в одном из нижних ящиков). В Вашем контрпримере золотая монета может лежать в любом из 200 ящиков с вероятностью 1/200. Раз открыли 99 ящиков (не важно, одного комода или нет), то исключили 99 вариантов из 100. Таким образом, вероятность обнаружить в последнем ящике данного комода (как и в любом другом ящике любого комода) золотую монету, равна 1/101, а серебряную монету - 100/101.
Вот если бы в Вашем контрпримере говорилось, что золотая монета лежит в самом нижнем ящике какого-либо комода, тогда открыв самый нижний ящик первого комода и обнаружив там серебряную монету, мы бы точно знали, что в самом нижнем ящике второго комода лежит золотая монета.
Аналогично, если бы в условии рассматриваемой задачи было сказано, что золотая монета лежит в одном из трёх нижних ящиков, и мы открыли бы нижний ящик первого комода и обнаружили там серебро, то вероятность обнаружить золото при открытии следующего нижнего ящика (второго комода), была бы равна 1/2.

*исключили 99 вариантов из 200

И совершенно неважно, намеренно мы открыли 99 ящиков одного комода или нет. Мы могли случайно открыть 99 ящиков именно таким образом.

Artem, вы правы. И автор тоже прав. Ответ к задачке 1/3.
Мое рассуждение было ошибочно))
И в "контр-примере" так же, вы правы, вероятность 1/101!
Посыпаю голову пеплом))
Спасибо автору и вам.
Но рассуждение автора и ваше мне не нравится "стилистически", поэтому приведу свое.

Источник ошибки в моем рассуждении был том, что я принимал вероятности "оказаться" в комоде Б и В как равные (по 1/2). А они разные - 2/3 и 1/3 соответственно.

Вероятность обнаружить золото определяется по формуле:
("Комод Б" х "Золото Б")+("Комод В" х "Золото В")=(2/3 х 0)+(1/3 х 1)= 1/3
Здесь:
"Комод Б" - это вероятность, что обнаружив серебренную монету, мы находимся в комоде Б - она равна 2/3 (т.к. 2 ящика из трех содержат серебро).
"Комод В" - это вероятность, что обнаружив серебренную монету, мы находимся в комоде В - она равна 1/3(т.к. 1 ящика из трех содержат серебро).
"Золото Б" - это вероятность обнаружить золотую монету во втором ящике комода Б - она равна 0.
"Золото В" - это вероятность обнаружить золотую монету во втором ящике этого комода В - она равна 1.

Обыденному восприятию кажется, что вероятность что мы оказались в комоде Б и В одинаковы - это и есть источник заблуждения.

В "контр-примере" вероятность того, что мы "оказались" в комоде с серебренными монетами (назовем этот комод А), равна 100/101. А вероятность того, что мы "оказались" в комоде, где есть одна золотая монета (назовем этот комод В), равна 1/101.
Соответственно вероятность обнаружить золото определяется по формуле:
("Комод А" х "Золото А")+("Комод В" х "Золото В")=(100/101 х 0)+(1/101 х 1)= 1/101

Да не за что! И не надо "посыпать голову пеплом" из-за задачи :)

Вы правы. И автор тоже прав. Ответ к задачке 1/3.
Мое рассуждение было ошибочно))
И в "контр-примере" так же, вы правы, вероятность 1/101!
Посыпаю голову пеплом))
Спасибо автору и вам.
Но рассуждение автора и ваше мне не нравится "стилистически", поэтому приведу свое.

Столько превдоинтеллектуалов развелось. Как математик - не смог пройти мимо.
1. Правильный ответ на сформулированную автором задачу - 1/2.
2. То, что хотел сформулировать автор, называется парадоксом Монти Холла, а не парадоксом Бертрана.
3. Автор сформулировал его неправильно, а ответ взял из парадокса Монти Холла, попытавшись подогнать рассуждения под этот ответ не сильно понимая сабж. Решением парадокса Монти Холла на самом деле является 1/3, в то время, как правильное решение сформулированной автором задачи - 1/2.
4. Ключевая ошибка автора в тезисе "Вы открываете один из шести ящиков наугад и находите в нем серебряную монету", который по сравнению с корректно сформулированной задачей, исключет несколько событий из множества возможных исходов случайного экспиремента (если говорить в терминах теории вероятностей) и, соответственно, изменяет ответ к задаче.
5. Чем автора не устроила оригинальная формулировка парадокса про двери и коз? Зачем было менять на ящики, в результате чего автор сам себя запутал?

1. Парадокс Монти Холла – другая задача. В этой же задаче, как мне кажется, всё гораздо очевиднее. И в чём заключается парадокс, и почему правильный ответ – 1/3, а не 1/2. И не нужно быть математиком, чтобы это понять.

Я не знаю, почему эта задача так называется. Не стоит акцентировать внимание на название «Парадокс Бертрана». Возможно, автор, «промахнулся» с названием.
Рассуждения автора не очень чётко сформулированы. Но ошибки в них нет, т.к. они приводят к верному ответу (1/3).

2. В пункте 4 Вы «блеснули» фразой, состоящей из основных терминов теории вероятностей. Браво! Хотя сомневаюсь, что это доказывает, что Вы являетесь математиком. Да и не нужно ничего доказывать: перед нами простая задача.

Давайте отвлечёмся от терминов. Открыв ящик, мы «убираем» комод А. Остаются два комода. Пусть в каждом из комодов ящики именуются верхним и нижним. Мы не знаем, в каком из них что лежит. Мы только знаем, что в одном из комодов – золото и серебро, в другом – 2 серебра. То есть, в них всего лежат 4 монеты: 3 серебряные и 1 золотая. Золотая монета может лежать в каком-то из трёх нераскрытых комодов. Пусть мы открыли нижний ящик какого-либо комода и обнаружили в нём серебро. Значит, золото лежит либо в одном из двух верхних ящиках, либо в нижнем ящике другого комода.

Есть ли в этих рассуждениях хоть что-то «псевдоинтеллектуальное»?

*Золотая монета может лежать в каком-то из трёх нераскрытых ЯЩИКОВ.

И ещё: не важно, как именуются ящики: верхний или нижний, первый или второй, правый или левый, и т.д.

Так себе из вас математик

Задача сформулирована очень некорректно.
Давайте вспомним что такое теория вероятности. Она изучает СЛУЧАЙНЫЕ события.
Вопрос в задаче стоит так: "Какова вероятность того, что в другом ящике окажется золотая монета.
Авторо в своем объяснении говорит: "Три оставшихся ящика этих двух комодав имеют одинаковую вероятность"
Это не верно. Эти ящики не имеют никакой вероятности, т.к. по условию задачи мы можем открыть только лишь второй ящик выбранного ранее комода, из чего следует, что в момент, когда осталось три ящика, не происходит случайное событие - следовательно, теория вероятности в данный момент ПРИМЕНЯТЬСЯ НЕ МОЖЕТ!
Давайте разберемся, в какой же момент происходит это самое СЛУЧАЙНОЕ событие.
В условии задачи сказано: "Вы открываете один из шести ящиков наугад и находите в нем серебряную монету."
Событие происходящее в данный момент так же не является полностью случайным. Хоть вы и выбираете наугад, но есть четкое условие - вы находите серебрянную монету. Это условие фактически исключает комод с двумя золотыми монетами из задачи. То есть СЛУЧАЙНО вы выбираете один комод из двух. Вот оно то самое событие, которое определяет, какую монету вы увидите открыв второй ящик выбранного комода. Следовательно правильный ответ - 1/2.

Друзья, эта задача не заслуживает столь бурных обсуждений , все просто и логично . Парадокс Монти Холла , на мой взгляд, интересней !

Абсолютно с Вами согласен: в этой задаче всё очевидно.

Открытие каждого ящика комода - равновероятно. Следовательно могут произойти 6 событий А1, А2, Б1, Б2, В1, В2, вероятность каждого из которых 1/6. Рассмотрим каждое из событий.
А1 - не проверяем следующий ящик
А2 - не проверяем следующий ящик
Б1 - проверяем следующий ящик, находим серебряную монету
Б2 - проверяем следующий ящик, находим серебряную монету
В1 - проверяем следующий ящик, находим золотую монету
В2 - не проверяем следующий ящик
Есть три события, при которых мы переходим к проверке второго ящика выбранного комода, и в одном из них находим золотую монету.
Ответ 1/3

Не верный перевод привёл к неверному ответу.
По условию задачи комод УЖЕ выбран и вероятности не может иметь. Комодов с серебрянной монетой два' из них с золотой один -вероятность 50%.

Надо правильно переводить источник

Во-первых, Вы не учитываете, что в каждом из комодов по два ящика, и мы понятия не имеем, как располагаются монеты в них. В условии не сказано, что золото должно лежать именно в верхнем/нижнем (правом/левом) ящике.
Во-вторых, если Вы считаете, что перевод неверен, то приведите ссылку на первоисточник - будет любопытно посмотреть.

Вопрос к "математикам": зачем считать комоды и ящики? В конце задачи нам поставили жесткое условие: мы можем открыть только один ящик, только в одном комоде, в котором уже есть серебряная монета. У нас только два вида монет Золото и Серебро. И в том ящике, который мы можем открыть, по УСЛОВИЮ может находится с РАВНОЙ долей либо Золото, либо Серебро. То есть только 2 варианта развития событий. Третьего варианта нет

1/3
Автором неправильно трактован ответ.
К тому что их шансы 50%/50% ДОБАВИМ:
Вероятность того, что открыт ящик комода Б в 2 раза больше (ведь там 2 ящика с серебряными монетами), а значит вероятность того, что открыт ящик комода В в 2 раза меньше, то есть 50% от 50 % = 25%
25% = 1/3
P.S. спасибо автору, первая понравившаяся задача на подсчет вероятности.

25% вообще то 1/4

[[[[[[[[[[[[[[
согласен насчёт того скрипта, а вот моя программа на языке Паскаль(ABC) которая как раз таки выбирает ящик - случайное число от 0 до 5.
var i,o,k,k1,A1,A2,B1,B2,C1,C2:integer;
begin
A1:=1; B1:=2; C1:=1;
A2:=1; B2:=2; C2:=2;
k:=0;
k1:=0;
for i:=1 to 1000 do
begin
o:=random(6); //0-5:0-A1,1-A2,2-B1,3-B2,4-C1,5-C2
if(o=0)or(o=1)or(o=4)then
i:=i-1
else
begin
if(o=2)or(o=3)then
begin
if i mod 100=0 then writeln('2 ');
if i mod 100<>0 then write('2 ');
k:=k+1;
end;
if o=5 then
begin
if i mod 100=0 then writeln('1 ');
if i mod 100<>0 then write('1 ');
k1:=k1+1;
end;
end;
end;
writeln('k=',k,' k1=',k1);
end.
Программа как вы выражаетесь корявая там есть лишние строки и переменные, но я думаю раз все такие умные то разберётесь
а насчёт тестов: я проводил их видимо значительно меньше чем тот пользователь(просто не знаю как его зовут) и самая маленькая вероятность не доходила до 3/7, что равно 42%, а чаще всего была близка к 1/2
Ну и что вы на это скажете?:-)
]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

вот что я собирался написать - извините пожалуйста, чуть не опозорился ведь; ведь моя программа доказывает что вы правы а я принял количество экспериментов с найденной не золотой монетой за количество всех экспериментов и "получал" 1/2. Извините, мне просто обидно было бы если бы я решил неправильно.
Хотя я знал что поспешил с ответов и не понимал до конца где здесь правильность, ну теперь интересно понять до конца как эта задача решается.
Да и вот что не стыдно сказать и что я хотел сказать: будьте проще проводите эксперименты и меньше спорьте.

какой ужас.
те, кто нашел вероятность 1/3 читайте:
изначально вероятность каждого комода 1/3.
условие задачи ставится, когда вы уже попали в комод Au/Ag или Ag/Ag,
их вероятности изначально равны по условию задачи 1/3 и 1/3.
иными словами, до начала определения вероятности мы уже открыли по 1 ящику в каждом комоде и увидели 1 золото и 2 серебра, и теперь думаем какая вероятность, что там, где есть Аg, вторая монета тоже Ag и видим, что выбираем из ДВУХ ЯЩИКОВ расположенных в ДВУХ комодах. третий комод исключен условием задачи, ведь в нем мы не увидели серебра.

Эту задачу можно переформулировать таким образом, что для её решения применяется формула Байеса. По сути дела, нам нужно найти вероятность того, что выбранный ящик принадлежит третьему комоду (потому что только в нем лежат разные монеты) при условии, что он оказался ящиком с серебряной монетой. Обозначим события:
А - выбранный ящик принадлежит третьему комоду.
В - в выбранном ящике оказалась серебряная монета.
Нужно найти вероятность события А при условии, что В уже наступило: р(А/В)=?
Для применения формулы Байеса нам нужно найти вероятность того, что вытащили ящик с серебряной монетой, при условии, что этот ящик принадлежит комоду В p(В/А), вероятность того, что выбрали комод В p(А) и полную вероятность того, что в вытащенном ящике оказалась серебряная монета p(B).
p(B/A)=1/2
p(A)=1/3
p(B)=1/2x0+1/3x1+1/3x1/2=1/2
Согласно формуле Байеса перемножаем первые две вероятности и результат делим на третью.
Ответ: 1/3.

При чем здесь Бертран???
Разве это не парадокс Монти Холла ?

Чтобы получить 1/3 вопрос в задаче должен формулироваться так:

"чему равна вероятность ситуации нахождения сначала серебряной, а потом золотой монет при последовательном открытии двух ящиков одного и того же комода?"

вероятность такой ситуации рассчитывается по формуле:

P = PsilverA * PgoldA + PsilverB * PgoldB + PsilverC * PgoldC = 0 * 2/3 + 2/3 * 0 + 1/3 * 1 = 1/3

Но смысл формулировки автора отличается от выше описанного случая! Его условие и вопрос сформулированы так:

"Вы открываете один из шести ящиков наугад и находите в нем серебряную монету.

Какова вероятность того, что в другом ящике этого же комода находится золотая монета?"

другими словами он спрашивает это:

"чему равна вероятность ситуации нахождения золотой монеты во втором ящике комода, в первом ящике которого лежит серебряная?"

ответ в этом случае 1/2

Ещё можно сказать, что задача без решения.. т.к. вопрос поставлен не корректно или поставлен так, что на него не ответить однозначно.
Мы не знаем с каким комодом мы имеем дело.. если комод без золота, то вероятность 0, если с золотом, то вероятность 1.00(но это не то-же самое что 1к2), если-бы мы не открывали ящики и знали что имеем дело с золотым комодом, то вероятность 1к2 на первом шаге и 1 на втором, если-бы мы открыли ящик и нам разрешали выбирать какой из комодов продолжать открывать, то вероятность 1к3(исключая комод А)на первом..1к2 на втором и 1 на третьем, если работать конкретно с этим комодом(в котором уже открыт один ящик и задача сводится к - золото или серебро), то вероятность 1к2(очевидно - так задачу и решает большинство), а если помнить ещё и о предыдущем шаге(с выбором и наличием комодов), то 1к3
Всё дело в плоскостях с каких ты решаешь, с каких тебя оценивают, с каких задают вопросы..
Плоскости это наше всё ;)
ps. это mensa quest.. а эти задачи не нацелены на правильные ответы.. они нацелены на варианты ответов.. ход мыслей
pps. 0 to infinity neq 0

Согласна с решением и ответом OverLord Ср, 06/25/2014 - 08:11

По условию задачи ящик с серебрянной монетой уже выбран, а значит комод А мы рассматривать не должны ( в нем только золотые моенты). Значит остаются комоды Б и В. Так же в условии задачи сказано, что ящик проверяется того же комода, где уже была найдена серебрянная монета, а всего в комоде два ящика. В этом оставшемся ящике может лежать либо серебрянная монет (если был выбран изначально комод Б), либо золотая (если был изначально выбран комод В). Вероятность выбора одного комода из двух - это 1/2. Вероятность выбора комода А равно 0, так как в его ящиках нет серебрянных монет. Если формально решать, то работает формула полной вероятности (можно также формулой Байеса воспользоваться)

С- выбрана серебрянная монета в первый раз

К - выбрана серебрянная моенета во второй раз

А - выбран комод А

Б - выбран комод Б

В - выбран комод В

Р(С)=Р(А)*Р_А(С)+Р(Б)*Р_Б(С)+Р(В)*Р_В(С)=0*0+1/2*1+1/2*1=1

Р(К)=Р(А)*Р_А(К)+Р(Б)*Р_Б(К)+Р(В)*Р_В(К)=0*0+1/2*1+1/2*0=1/2

в этой задаче необходимо было обратить внимание, что 1) ящик с серебрянной монетой уже вытащен (равносильно, что комод А не рассматривается), 2) рассматривается содержимое ящика того же комода и в каждом комоде всего два ящика ( если комод Б, то будет серебрянная монета; если В - то золотая; то есть два варианта, третьего не дано)

Пусть 3 серебряных монеты имеют номера 1,2 и 3 , и пусть монеты сномерами 1 и 2 лежат в ящике Б.

Условные вероятности выбора любой из этих трёх монет(*при условии что выбрана серебряная монета) одинаковы и равны 1/3, при этом интерисующие нас событие(вторая монета в комоде золотая) наступает только если выбрана монета номер 3, и соответственно его вероятность равна 1/3.

Более интуитивное объяснение :Пусть в комоде А - 10 золотых монет, в Б - 10 серебряных монет и в комоде В - 1 серебряна и 9 золотых монет, известно что случайно выбранная монета оказала серебряной , что тогда более вероятно что эта монета из комода Б или из комода В?

Можно посчитать условную вероятность более строго.

P(В/С) - условная вероятность что выбранная серебряная монета из комода В

P(С/В) - вероятность вытащить серебряную монету из комода В

P(В) - безусловная вероятность выбора комода В

P(С) - вероятность вытащить серебряную монету

по формуле Байеса P(В/С) = P(С/В)*P(В)/P(С) = (1/2)*(1/3)/(1/2) = 1/3.

Комментарии

Страницы