Может ли при каком-то n сумма дробей 1/2+1/3+1/4+...+1/n оказаться равной целому числу?

Ответ: Не может. Возьмем наибольшую степень двойки, входящую в знаменатель рассматриваемых дробей. Это единственная дробь, имеющая вид 1/2^k. При приведении всех дробей к общему знаменателю числители всех дробей будут четными, кроме одного, следовательно, числитель суммы будет нечетным, а знаменатель четным.