Можно ли покрыть шахматную доску доминошками 1х2 так, чтобы свободными остались только клетки a1 и h8? 

Ответ: Нельзя. Каждая доминошка покрывает одно черное и одно белое поле, а при выкидывании полей a1 и h8 черных полей оказывается на 2 меньше, чем белых.