Два поезда, находившиеся на расстоянии 200 км друг от друга, сближаются по одной колее, причем каждый развивает скорость 50 км/ч. С ветрового стекла одного локомотива в начальный момент движения взлетает муха и принимается летать со скоростью 75 км/ч вперед и назад между поездами, пока те, столкнувшись, не раздавят ее. Какое расстояние успевает пролететь муха до столкновения?
Ответ: Эту задачу можно решить двумя способами: "трудным" и "легким".
С каждым из поездов муха успевает повстречаться бесконечно много раз. Чтобы найти расстояние, которое муха преодолела в полете, можно просуммировать бесконечный ряд расстояний (эти расстояния убывают достаточно быстро, и ряд сходится). Это - "трудное" решение. Чтобы получить его, вам понадобятся карандаш и бумага.
"Легкое" решение состоит в следующем. Поскольку в начальный момент расстояние между поездами равно 200 км, а каждый поезд развивает скорость 50 км/ч, то от начала движения до столкновения проходит 2 ч. Все эти 2 ч муха находится в полете. Поскольку она развивает скорость 75 км/ч, то до того момента, как столкнувшиеся локомотивы раздавят ее, муха успеет пролететь 150 км. Вот и все!
Один из выдающихся математиков современности, Джон фон Нейман, когда ему задали эту задачу, задумался лишь на миг и сказал: "Ну, конечно, 150 км!" Приятель спросил его: "Как вам удалось так быстро получить ответ?" "Я просуммировал ряд", - ответил математик.
Комментарии
Жалко муху - наверное она пыталась предупредить машинистов...
150км... так как через 2 часа происходит сталкновение, а в течении двух часов муха может со скоростью 75км/ч лететь 150км.
А кто-нибудь пробовал просуммировать ряд?
Представим, муха начинает движение от первого поезда ко второму. До второго поезда она долетает за время t1. Муха до встречи со вторым поездом прошла расстояние x1=75t1. Второй поезд прошел расстояние до встречи с мухой 50*t1. Суммарное расстояние, пройденное мухой и поездом, равно 50*t1+75*t1=200, откуда t1=200/(50+75)=200/125. Отсюда x1=75*200/125.
При этом расстояние между поездами сократилось за время t1 до 200-(50+50)t1 = 200-100*200/125 = 200(1-100/125) = 200*25/125.
Теперь муха начинает движение от второго поезда к первому. До первого поезда она долетает за время t2. Муха до встречи с первым поездом прошла расстояние x2=75t2. Первый поезд прошел расстояние до встречи с мухой 50*t2. Суммарное расстояние, пройденное мухой и поездом равно 50*t2+75*t2=200*25/125, откуда t2=200*25/125/125. Отсюда x2=75*200*25/125/125=x1(25/125).
При этом расстояние между поездами сократилось за время t2 до 200*25/125-(50+50)t2 = 200*25/125-100*200*25/125/125 = 200*25/125*(1-100/125) = 200(25/125)^2.
Теперь муха опять начинает движение от первого поезда ко второму. До второго поезда она долетает за время t3. Муха до встречи со вторым поездом прошла расстояние x3=75t3. Второй поезд прошел расстояние до встречи с мухой 50*t3. Суммарное расстояние, пройденное мухой и поездом равно 50*t3+75*t3=200(25/125)^2, откуда t3=200(25/125)^2/125. Отсюда x3=75*200(25/125)^2/125 = x1(25/125)^2.
Обозначим за X3 частичную сумму трех первых членов последовательности {xn}. X3=x1+x2+x3=x1(1+(25/125)+(25/125)^2). По индукции можно доказать, что для произвольного числа шагов n частичная сумма n членов последовательности будет равна Xn=x1(1+(25/125)+(25/125)^2+..+(25/125)^n).
Из формул сокращенного умножения известно, что a^n+a^(n-1)+..+1=[a^(n+1)-1]/[a-1] (также сумма геометрической прогрессии).
Тогда Xn=x1[(25/125)^(n+1)-1]/[25/125-1] = -125x1[(25/125)^(n+1)-1]/100. При n->? величина (25/125)^(n+1)->0, поэтому сумма бесконечного ряда равна X=-125x1[0-1]/100=x1(125/100) = 75*200/125*(125/100)=75*2=150.
Можно также просуммировать временной ряд:
T3=t1+t2+t3=t1+t1(25/125)+t1(25/125)^2 = t1(1+(25/125)+(25/125)^2).
Tn=t1[(25/125)^(n+1)-1]/[25/125-1]=
-125t1[(25/125)^(n+1)-1]/100.
T=-125t1(0-1)/100=t1(125/100)=200/125(125/100)=2.
Тогда суммарное расстояние, пройденное мухой, равно 75*T=75*2=150.
Будьте проще.
Разобьем полет мухи на интервалы, от столкновения до столкновения. На k-ом интервале:
Sk = 75 Tk + 50 Tk, где Tk - время до столкновения, Sk - расстояние между поездами. Пусть Pk - путь, пройденный мухой на интервале, Pk = 75 Tk. Решим, найдем: Tk = Sk / 125, Pk = 0.6 Sk.
Что до Sk. S0 = 200. Sk+1 = Sk - Tk * 50 * 2. Т.е. Sk = 0.2^k * 200.
Полный путь мухи P = sum(Pk,k,0,inf) = 0.6 * sum(Sk) = 0.6 * 200 * sum(0.2^k) = 150.
В длинном варианте решения нет необходимости сумировать бесконечный ряд чисел. Этот ряд ограничен толщиной мухи. Когда расстояние между поездами становится равным или меньше размеров мухи, та в свою очередь лишается возможности летать, а через микродоли секунды и всего остального. Данный факт, правда, не влияет на результат задачи в глобальных масштабах =))) Посему, спасибо за задачку!
я на уроках физики решали подобную задачу.
Вместо мухи был кит, который плавает от одного корабля до другого.
я умница, самый первый догадался её решить. ^^
А Джон фон Нейман шутник, однако)
Принцип однородности памяти xD
разве муха, пролетев 120 км, не сталкнется с идущем навстречу поездом?
t=S/V
200/50=4
S=Vt
S= 75* 4=300km
Решение некорректное. 200 надо делить на 100, а не 50,.т.к. поезда движутся навстречу. Соответственно, они встретятся через 200/100 = 2 часа. А муха пролетит 150 км.
А ВТОРОЙ ПОЕЗД НА МЕСТЕ СТОЯЛ?
Самое интересное, что ни одна муха не летит с такой скоростью, и уж тем более на разворотах около поездов, ни одно существо в мире не способно двигаться в противоположные стороны со скоростью 75км/ч,не замедляясь.
Поскольку мне задали вопрос, сколько раз успеет пролететь муха между поездами? То я решила так: 75 это в 1.5 раза больше чем 50. На 120 на 80-первая встр с поездом В, обратно до поезда А у нее 40 км, это 24 на 16- вторя встр с поездом А, обратно до поезда В у нее 8 км, это 5.5 на 2.5-третья встреча с поездом В, обратно до поезда А у нее 3 км, это 2 на 1- встреча с поездом А. Дальше идет уже деление расстояния в 1 км. Но если вопрос обстоит так"сколько километров успеет преодолеть муха, прежде чем расшибется между поездами" то, да второй вариант ответа в 150 км он верный.
Я просто хочу поразмышлять остранённо от чисел, формул, уйти от строгих моделей...
Сразу понятно, что дело в соотношении скоростей. Для верного ответа оставим путь постоянным, а изменим скорость пропорционально. Так поменяется время, которое нам не нужно. Итак, Скорость мухи 3, а поезда 2.
Важен момент, когда муха встретит свой первый поезд. Мы понимаем, что это образует некую пропорцианально убывающий ряд, ведь после встречи с поездом муха обретёт исходные условия, но изменится путь, его изменение нам нужно.
Итак, при столкновении с мухой путь сократится в 5 раз. Муха при этом проходит 3/5 пути. Так, наша прогрессия имеет первое значение - 120, а псоледующие сокращаются в 5 раз. Итак, понимая сумму бесконечно уывающих геометрических прогрессий ответ: 150.
Думаю вы рассуждаете в подобном ключе, когда делаете расчёты в уме. Возможно цепочка действий у Неймана была схожа, лишь многие моменты, избитые для его пытливого ума, были пропущены за их очевидностью.
Приятно, когда математика выходит за пределы некоторых условностей, когда вы начинаете сравнивать, казалось бы, несовместимые очевидности. Нейман был любителем подобных привычек, потому смог в уме рассчитать эту задачу. Мне интересно, сколько времени ему потребовалось на рассуждения. Я плох в математике в сравнении с теми, кто может назвать себя математиком, я проводил рассуждения выше в промежутке 1,5 минут.
Постоянно боюсь оскорбить великое имя математиков, если вы тут заметили невежество, заранее приношу извинения)
Это всё математика,а физика:складываем скорость мухи и встречного поезда,и всё МУХИ нет! обратно лететь некому!