я рассуждал так:
чтобы после всех манипуляций лампочка осталась вкл., её нужно переключить чётное количество раз. Какие лампочки переключатся чётное количество раз?
Каждая лампочка с номером, являющимся простым числом, переключится 1 раз (это очевидно). Следовательно, лампочка с номером, являющимся квадратом простого числа, переключится 2 раза (ну например для 9-й лампочки: она переключается при смене состояния у каждой 3-ей и у каждой 9-ой (=3^2)). 2 - чётное число. Следовательно, лампочки с номерами x^2 (где x - простое) останутся включенными (переключенными 2 раза). Но ведь есть лампочки, которые переключали 4,6,8 и т.д раз. Номера этих лампочек являются ПРОИЗВЕДЕНИЯМИ КВАДРАТОВ простых чисел (например для 36-й лампочки 36=(2^2)*(3^2) и она соответственно переключится 2+2 раза). Т.е. номера этих лампочек - квадраты натуральных чисел (т.к. любое натур. число - это либо простое число, либо произведение простых чисел; и сответственно квадрат нат. числа - это либо квадрат простого числа, либо произведение квадратов простых чисел).

Из всего выше описанного бреда следует, что искомые номера есть квадраты нат. чисел

75

Не тупите. Ответ абсолютно верен. Всем понятно, что количество переключений это количество делителей (не обязательно простых) данного числа(не считая единицы, но считая это же число)? Ну так вот открою секрет - если число на что-то кроме себя делится, то оно делится также на результат от деления, т.е. на каждый делитель приходится еще один уникальный, данное число это один делитель и к нему добавляются ПАРЫ делителей и такая сумма получится четной только если в каждой паре числа одинаковые, то есть наше число Х можно поделить на любой из его делителей два раза (то есть на квадрат делителя), ну дальше сами просечете я думаю

50 лампочек останутся гореть а 50 нет, поскольку выключая каждую вторую лампочку ми выключим половину,а меняя положения каждой третьей одинаковое количество лампочек буде выключатся и одинаковое включатся, потому останется то самое число что и после того как мы отключили каждую вторую.

Строгое математическое док-во:
Любое натуральное число можно представить, причем единственным образом, в виде произведения степеней различных простых чисел: n = p_1^k_1*p_2^k_2*...*p_n^k_n (Основная теорема арифметики). При этом число общее число делителей числа n будет равно (k1+1)*(k2+1)*...*(kn+1) (с учетом единицы).
Возможны три случая: 1) Все скобки четны => Число делителей четно.
2) Все скобки не четны => Число делителей не четно.
3) Часть скобок четна, часть не четна => Число делителей четно.
В нашей задаче лампочка будет гореть при четном числе изменений состояния. То есть по сути нас интересует четное число делителей (без учета единицы как делителя, она не не несет "физического" смысла). Когда у нас будет четное число делителей (без 1)? Когда общее число делителей нечетно (2-ой случай) => k1,k2...kn - четные. Запишем простые числа: 2,3,5,7,11,13... . Смысла заглядывать дальше 11 нету, 11^2 > 100. Составляем все возможные комбинации из четных степеней, таких комбинаций 9: 4,16,64,9,81,25,49,36,100. И + 1 лампочка,ее никто не трогал:) Итого: 10 лампочек будут гореть.