Футбольный турнир проходил в один круг. За победу давалось 3 очка, за ничью - 1, поражение - 0 очков. Могло ли так случиться, что команда, занявшая первое место по старой системе подсчета очков (за победу - 2 очка, ничья - 1 очко), была бы последней, а команда, бывшая последней по старой системе, заняла бы первое место? (Имеется в виду чистое первое и чистое последнее место по количеству набранных очков)
Ответ: Такое может произойти при достаточно большом количестве участников. Например, пусть число участников равно 65 (хотя наверняка можно построить пример и для меньшего числа участников). Пусть команда A одержала 30 побед, а все остальные игры проиграла, а команда B выиграла 5 игр и сделала 60 ничьих. Остальные 63 команды в играх между собой одержали по 21 победе и сделали 21 ничью (соответственно имеют 21 поражение). Подсчитаем очки по новой системе. Команда A имеет 30*3 = 90 очков, команда B имеет 5*3+60 = 75 очков. Каждая из оставшихся команд в играх между собой набрала 3*21+21 = 84. Значит, любая из них максимально может набрать 84+3+1 = 87 очков. Итак, по новой системе A - чемпион, а B занимает последнее место.
Подсчитаем очки по старой системе. У команды A 60 очков, у команды B 70 очков, а все остальные команды набирают от 63 до 66 очков. По старой системе чемпионом была бы команда B, а команда A оказалась бы последней.
Комментарии
По-любому можно для меньшего числа пример подобрать
не понял
Неплохая задачка для мозгов.
Небольшая неточность:
1) "пусть число участников равно 65";
2) "команда B выиграла 5 игр и сделала 60 ничьих". Получается команда В сыграла 65 игр. Команда играла сама с собой?
---
Число сыгранных каждой командой игр должно быть на единицу меньше общего числа команд.
Второй вариант решения!
Такое возможно, если за поражение по старой системе дают 3 очка. (в задаче не указано, сколько дают за поражение)
Интересная задача
Думаю нет. Считал через 50% результат по старой системе.
Эх, не сильна я в футболе)
wi - число побед, di - ничьих, Ki - команды
i = 1...n
Пусть первая команда при нынешней системы занимает первое место, при старой - последнее. А вторая (i=2) наоборот.
Остальные - баласт.
Примем, что у первой команды сплошь победы, у второй сплошь ничьи (более общий случай решать сейчас не возьмусь).
Получаем
3*w1 > d2 - первое место у K1
2*w1 < d2 - K1 уступает K2
далее, вспомнив про баласт, учтём, что их сумма очков должна отличаться от сумм у К1 и К2. Очевидно, что у баластовых команд будут победы и ничьи одновременно (иначе они не попадут между К1 и К2).
Получим неравенство
2w1 < очки баласта 2 < d2 < очки баласта 1 < 3w1
Так как вся разница в очках вызвана разницей в очках за победу, то очки баласта 2 = очки баласта 1 - w3
2*w1 < очки баласта 1 - w3 < d2 < очки баласта 1 < 3*w1
Теперь подберём минимальное w1, чтобы разница между началом и концом неравенства составила больше 3.
Разница между началом и концом неравенства -> 3w1 - 2w1 = w1
-> w1 > 3 -> min w1 = 4
Тогда
8 < 9 < 10 < 11 < 12
10 ничьих, следовательно 11 команд достаточно, чтобы это стало возможным.
У баласта 11-9 = 2 победы
можно и таблицу составить
i|_w_|_d_|_l_|pts3|pts2
1|_4_|_0_|_6_|_12_|_8_
2|_0_|_10|_0_|_10_|_10_
3|_2_|_5_|_3_|_11_|_9_
....
Проверьте,а то мало ли что. И хорошо бы для общего случая решить :)
ночью не сообразил, общий случай при определении минимального числа команд выразится в вышеописанный частный. Команд надо тем меньше, чем меньше верхняя граница неравенства (очки К1) и одновременно больше очков за игру дают победы, поэтому d1 = 0. Также, чем меньше промежуток между границами, тем меньше нужно команд, поэтому очки команды 2 не должны вообще меняться -> w2 =0.
Решение Сб, 01/14/2012 - 03:22 неверно.
Не учтены условия:
-общее число побед должно быть равным общему числу поражений;
-общее число ничьих должно быть чётным.
Моё решение.
Минимальное количество участников - 12.
___|_и__|_в_|_н_|_п_|_нов|стар
_1_|_11_|_5_|_0_|_6_|_15_|_10_
_2_|_11_|_3_|_5_|_3_|_14_|_11_
.............................
_11|_11_|_3_|_5_|_3_|_14_|_11_
_12|_11_|_1_|_10|_0_|_13_|_12_
Выигрыши x,ничьи y, поражения z - натуральные числа. Для минимального числа n команд полагаем, что все команды со 2 по n-1 места имеют разницу очков 1 с первой и последней по обеим системам, т. е. сыграли одинаково. Общее число ничьих должно быть чётным, т.е. (y1+y2+y3)/2 - натуральное, а для минимального числа n команд - и минимальное. Значит:
y1=0 или y2=0 или y3=0. А также
3x1+y1-1 = 3x2+y2+1 = 3x3+y3; 2x1+y1+1 = 2x2+y2-1 = 2x3+y3, откуда
x2=x1-4; x3=x1-2; y2=y1+10; y3=y1+5.
Для натуральных чисел может быть только
y1=0; y2=10; y3=5 [1]. x2=x1-4; x3=x1-2 [2].
Общее число выигрышей должно быть равным общему числу поражений:
z1+z2+z3=x1+x2+x3, а также число игр каждой команды должно быть равным
n-1=x1+y1+z1=x2+y2+z2=x3+y3+z3. Подставляя [1] и [2], решаем:
z1=x1+1; z2=x1-5; z3=x1-2; n=2x1+2.
Минимально возможное здесь x1=5, тогда x2=1, x3=3, z1=6, z2=0, z3=3 и n=12.
Очки по новой системе:
1)3x1+y1=3*5+0=15; 2)3x3+y3=3*3+5=14; 3)3x2+y2=3*1+10=13.
Очки по старой системе:
1)2x1+y1=2*5+0=10; 2)2x3+y3=2*3+5=11; 3)2x2+y2=2*1+10=12.
Проверка1.Общее число выигрышей должно быть равным общему числу поражений: в=5+1+3*10=36, п=6+0+3*10=36.
Проверка2.Общее число ничьих должно быть чётным: н=0+10+5*10=60 (30 матчей).
Проверка3.Число игр каждой команды должно быть равным n-1=11: 5+0+6=1+10+0=3+5+3=11.
Получим таблицу
___|_и__|_в_|_н_|_п_|_нов|стар
_1_|_11_|_5_|_0_|_6_|_15_|_10_
_2_|_11_|_3_|_5_|_3_|_14_|_11_
.............................
_11|_11_|_3_|_5_|_3_|_14_|_11_
_12|_11_|_1_|_10|_0_|_13_|_12_
у меня на олимпиаде была такая же задача
+1
+1
"Футбольный турнир проходил в один круг" - то есть каждая команда смогла поиграть с каждой?
Если играет 65 команд, то команда В может съиграть только 64 матча, а никак не 60+5.