Найдите 9-значное число такое, что:
а) оно содержит каждую из цифр от 1 до 9 по одному разу;
б) числа, образующиеся посредством взятия первых N цифр (для N от 1 до 9), делятся на N без остатка

Ответ: Пусть искомое число abcdefghi.
Тогда цифры b, d, f, h - чётные (2, 4, 6 и 8), а цифры a, c, e, g, i - нечётные (1, 3, 5, 7, 9).
Сумма цифр a+b+c делится на 3, сумма цифр d+e+f делится на 3.
Цифрой e может быть только 5.
Число cd делится на 4, причём цифра c - нечётная, следовательно цифра d может быть равна только 2 или 6. По аналогичной причине цифра h может быть равна только 2 или 6.
Следовательно, цифры b и f могут быть равны только 4 или 8.
Рассмотрим тройку цифр def. Сумма d+e+f=d+5+f должна делиться на 3, d=2 или 6, f=4 или 8. Возможны только два варианта: def=258 или def=654.
С учётом того, что число fgh должно делиться на 8 и f=4 или 8, число gh должно делиться на 8. Следовательно для числа gh возможны четыре варианта 32, 72, 16, 96.
Для числа abc при этом возможно большое количество вариантов: 147, 183, 189, 381, 387, 741, 783, 789, 981, 987.
При этом для числа abcdefg возможны следующие варианты 1472589, 1836547, 1896543, 1896547, 3816547, 7412589, 7896543, 9816543, 9816547, 9876543.
Из этих чисел на 7 делится только число 3816547.
Поэтому число abcdefghi=381654729