У меня в саду три квадратных газона. Периметр каждого составляет целое число метров. Два газона одинаковой площади, а третий чуть меньше. Общая площадь трех газонов - 1987 квадратных метров. Какова площадь каждого газона?
Ответ: Число 1987 можно разложить на сумму трех квадратов следующими способами:
1987 = 272 + 272 + 232
1987 = 332 + 272 + 132
1987 = 392 + 212 + 52
1987 = 412 + 152 + 92
Только первый вариант удовлетворяет условию
Комментарии
В ответе приведён только результат, но не ход решения.
Мой ход рассуждений был примерно таким. Обозначим за a периметр каждого из двух газонов, которые одинаковые, за b - периметр третьего газона. a и b - целые числа. Тогда суммарная площадь газонов
a^2/8 + b^2/16 = 1987
или
2*a^2 + b^2 = 1987*16 = 31792.
Уравнение решается в целых числах. Полные квадраты могут заканчиваться цифрами: 0, 1, 4, 5, 6, 9. Следовательно, чтобы 2*a^2 + b^2 заканчивалось на 2, возможны следующие варианты:
a заканчивается на 1, b заканчивается на 0;
a заканчивается на 4, b заканчивается на 4;
a заканчивается на 6, b заканчивается на 0;
a заканчивается на 9, b заканчивается на 4.
В любом случае b заканчивается на 0 или 4.
С другой стороны, поскольку b
(продолжение)
С другой стороны, поскольку b
(продолжение 2)
С другой стороны, поскольку b
(продолжение 3)
С другой стороны, поскольку b меньше a, то b^2 меньше 31792/3=10597,33333... Т. е. b меньше либо = 102. Дальше начинаем последовательно по нисходящей перебирать варианты для b: 102, 100, 98, 92, 90, ... и смотреть, когда при этом получается целое a. Ключевой момент в условии: b ЧУТЬ меньше a. Поэтому первый по счёту подходящий вариант и есть решение. А это b=92, a=108, т. е. сторона газонов, которые больше - 27 метров, газона, который меньше - 23 метра. Ответ на вопрос задачи: два газона площадью 729 кв. метров, один газон площадью 529 кв. метров.
Очень извиняюсь, необходимое уточнение.
В самом первом сообщении: где перебираются варианты для окончаний a и b, следут читать, соответственно, a^2 и b^2
Я решал немного иначе.
Так же сразу составил общее уравнение вида 2*а2+b2=1987. Затем определился с диапазоном поиска "а":
аmax=sqrt(1987-1) (1 - минимальная площадь малого газона) = 31 (сразу округлил до целого числа)
аmin=sqrt(1987/3) (если бы газоны были равны) = 26
В диапазоне от 26 до 31 включительно решаем уравнение вида b=sqrt(1987-2*а2). Всего 6 уравнений.
Целое число имеем только при а=27 (b=23).
По-моему, это чуть проще, чем найти все суммы из трёх квадратов...
P.S.: sqrt() - корень квадратный.
Минимальная площадь малого газона 0,0625, так как "Периметр каждого составляет целое число метров", т.е. для квадрата с малой площадью минимальное целочисленное значение периметра 1, как я помню из уроков геометрии Р=4b (для квадрата), отсюда b=0.25, S малого = b^2=0,0625
S общ. = 2а^2 + b^2
Минимальное значение b = a - 0,75, т.к. любое число, у которого после запятой стоит 0,25 при умножении на 4 дает целое число, я исходил из условия задачи: "Периметр каждого составляет целое число метров". Отсюда:
S общ. = 2a^2 + (a - 0,75)^2
S общ. = 3a^2 - 1,5a + 0,5625
3a^2 - 1,5a + 0,5625 - S общ. = 0
Далее решаем как квадратное уравнение:
1,5(2a^2 - a) + (0,5625 - S общ.) = 0
2a^2 - a + (0,5625 - S общ.)/1,5 = 0
a = (1+sqrt(1-4*2*((0,5625 - S общ.)/1,5)))/4
b = (1+sqrt(1-4*2*((0,5625 - S общ.)/1,5)))/4 - 0,75
S для каждого из двух одинаковых = ((1+sqrt(1-4*2*((0,5625 - S общ.)/1,5)))/4)^2
S для третьего = ((1+sqrt(1-4*2*((0,5625 - S общ.)/1,5)))/4 - 0,75)^2
Некорректно дано условие: периметр целое число метров. Правильно - сторона квадрата целое число метров.