Космический корабль-спутник совершает вокруг Земли 10 оборотов в сутки. По каким-то соображениям ему нужно ускорить свое движение так, чтобы совершать 12 оборотов в сутки. Что должен сделать космонавт: ускорить или затормозить корабль?

P. S. Задача из книги П. Маковецкого "Смотри в корень!"

Ответ: Космонавт должен затормозить корабль, к удивлению тех, кто хорошо знает законы движения наземного транспорта, но не знаком с космонавтикой. Доказать это можно с помощью законов Кеплера.

Третий закон Кеплера применительно к системе Земля – спутник гласит: «Квадраты времен обращения спутников вокруг Земли пропорциональны кубам их средних расстояний от центра Земли». Отсюда следует, что для уменьшения периода обращения необходимо уменьшить среднее расстояние Земля – спутник. Под средним расстоянием r_ср необходимо понимать среднее арифметическое из наибольшего расстояния r_A (в апогее) и наименьшего r_P (в перигее). Пусть для простоты первоначальная орбита спутника была круговой (D на рисунке).

Тогда среднее расстояние равно просто радиусу орбиты:

(r_D)_ср = r_A.

Для эллиптической орбиты B

(r_B)_ср = (r_A + r_P) / 2 < (r_D)_ср;

следовательно, по орбите B спутник будет совершать оборот быстрее, чем по орбите D.

Как же перейти с орбиты D на орбиту B? Для этого спутник, движущийся по круговой орбите D, надо затормозить в момент прохождения через точку A. Тогда его скорости будет недостаточно для продолжения кругового движения, и он начнет снижаться по кривой B. При снижении часть потенциальной энергии спутника преобразуется в кинетическую, отчего скорость его движения в перигее P возрастает. Избыток кинетической энергии заставляет его вновь подняться в апогей A, и т.д.

Рассчитаем, любопытства ради, первоначальную и окончательную орбиты спутника, упоминавшегося в условиях задачи. Из третьего закона Кеплера

t₁² / t₂² = r₁³ / r₂³

следует, что радиус орбиты спутника

можно найти по его периоду обращения t₁, если известны радиус орбиты r₂ и период обращения t₂ какого-нибудь другого спутника Земли. Можно использовать в качестве второго спутника Луну (r₂ = 384 400 км, t₂ = 27,32 суток) или самый близкий из теоретически возможных (при отсутствии атмосферы) искусственных спутников Земли (r₂ = 6380 км – радиус Земли, t₂ = 7900 м/с, t₂ = 2πr2/v = (40·10⁶)/7900 = 5070 с = 84,5 мин).

Принимая во внимание, что

t₁ = 1/10 суток = 144 мин = t_D,

имеем для радиуса орбиты спутника

r₁ = 6380 · √³[1442 / 84,52] = 9120 км = (r_D)_ср,

т.е. спутник находится на высоте

h = 9120 – 6380 = 2740 км.

Найдем теперь среднее расстояние спутника от Земли после торможения (t_B = 1/12 суток = 120 мин):

Перигейное расстояние

r_BP = 2(r_B)_ср – r_BA = 2(r_B)_ср – (r_D)_ср = 2 · 8070 – 9120 = 7020 км,

т.е. высота перигея

h_P = 7020 – 6380 = 640 км.

Рассмотренный маневр космического корабля можно применять для того, чтобы догнать другой корабль. Допустим, на одну и ту же круговую орбиту D (рис. 17) выведены два корабля K₁ и K₂. Они несут на себе различные детали спутника, которые надо собрать воедино. Для этого следует кораблю K₁ догнать корабль K₂. Если на орбите D корабль K₁ отстает от K₂ на 1 минуту пути, то корабль K₁ должен затормозить свое движение, чтобы перейти на такую орбиту B, на которой время обращения на 1 минуту меньше, чем на орбите D. Тогда ровно через один оборот (по орбите В) корабль K₁ догонит корабль K₂ в точке A. Таким образом, чтобы догнать впереди идущий спутник, задний должен уменьшить свою скорость.

Ту же задачу можно решить путем увеличения скорости впереди идущего корабля K₂. Тогда корабль K₂ пойдет по орбите C. Если приращение скорости выбрано правильно, то после одного оборота корабли встретятся в точке K₂.

Не следует, однако, думать, что догнать корабль можно только таким способом. Описанный способ – самый экономичный по расходу топлива и самый простой для штурмана. Если же топлива много или если случай аварийный (нужно догнать немедленно!), то задний корабль может увеличить скорость, а возникающую при этом тенденцию корабля перейти на более высокую орбиту надо пресечь с помощью некоторой переориентации реактивной струи.