Самолет летит по замкнутому маршруту Москва – Орша – Москва на побитие рекорда скорости. В течение всего полета дует ветер по направлению Москва – Орша с постоянной скоростью. Улучшится или ухудшится рекорд из-за ветра?

P. S. Задача из книги П. Маковецкого "Смотри в корень!"

Ответ: Если вы считаете, что ветер поможет при полете в одну сторону столько же, сколько помешает при полете в обратную сторону, и что поэтому его влияние не отразится на рекорде, то советуем рассмотреть дополнительно случай, когда скорость ветра равна воздушной скорости самолета. Тогда в Оршу самолет будет лететь с удвоенной скоростью, а обратно – со скоростью, равной нулю! Таким образом, в этом частном случае время, потребное на преодоление всего замкнутого маршрута, равно бесконечности, что явно больше того времени, которое понадобилось бы при отсутствии ветра.

Если самолет летит по замкнутому маршруту, то, куда бы ни дул ветер, он ухудшит рекорд. Если бы ветер отсутствовал, то время на полет в одну сторону равнялось бы времени на полет в обратную. При наличии попутного ветра скорость самолета относительно Земли (путевая скорость) возрастает, благодаря чему время полета на первой половине маршрута уменьшается. На второй половине маршрута ветер встречный, путевая скорость уменьшается, время полета возрастает. Следовательно, ветер помогает полету меньшую часть времени, а мешает – бóльшую. Рекорд будет хуже, чем в отсутствие ветра.

Если ветер дует в обратном направлении, то он будет сначала мешать, а потом помогать. Но общий результат его усилий будет тот же.

Решим теперь задачу количественно. В отсутствие ветра время на весь маршрут

t₁ = 2l/v_c

где 2l – полная длина маршрута (туда и обратно), v_c – скорость самолета (воздушная, а в данном случае также и путевая).

При наличии ветра

t₂ = l/v_п1 + l/v_п2

где v_п1 и v_п2 – путевые скорости при полете туда и обратно. Если скорость ветра равна v_в, то

v_п1 = v_c + v_в; v_п2 = v_c – v_в,

и, следовательно,

t₂ = l/(v_c + v_в) + l/(v_c – v_в) = (l[v_c – v_в] + l[v_c + v_в])/(v_c2 – v_в2) = 2lv_c/(v_c2 – v_в2).

Разделив числитель и знаменатель правой части на v_c, получим

t₂ = 2l/(v_c – v_в2/v_c).
 

Сравнение показывает, что t₂ > t₁, так как если v_в ≠ 0, то знаменатель последней формулы меньше знаменателя первой, следовательно, вторая дробь больше первой.

Пример: l = 600 км, v_c = 300 м/с, v_в=30 м/с. Тогда

t₂ = 2·600 000/(300 – 30·30/300) = 4000/0,99 = 4040,4 с.

В отсутствие ветра

t₁ = 2l/v_c = 2·600 000/300 = 4000/1 = 4000 с,

т.е. продолжительность полета в отсутствие ветра меньше на один процент.