На школьном уроке учитель уронил тонкую пластиковую указку, которая после удара о пол раскололась на три части. Жаль, конечно. Но учитель не растерялся и задал вопрос о том, сколько в среднем потребовалось бы сломать указок, чтобы из кусков от одной указки получился треугольник?
Ответ: Потребовалось бы 4 указки. Будем считать указку однородной по длине. Обозначим разломы буквами А и Б, а геометрический центр указки будет В. Возможны четыре комбинации разломов относительно центра: АБВ, ВАБ, АВБ и БВА. Только две последние соответствуют условию построения треугольника, так как обязательным требованием для этого является известное правило: сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины третьей стороны. Нетрудно убедиться, что первые две комбинации не удовлетворяют указанному правилу. Поскольку разломы А и Б возникают независимо, то все четыре их комбинации имеют равную вероятность появления. Отсюда вероятность двух благоприятных комбинаций: 0,5. Необходимо учесть еще одно обстоятельство: расстояние между разломами не должно превышать половины длины указки. Оно может изменяться от нуля до полной длины указки, значит вероятность желаемого события составит 0,5. Обе вычисленные вероятности относятся к независимым событиям, отсюда вероятность составить треугольник из осколков указки: 0,5*0,5 = 0,25. Это означает, что из четырех наборов осколков в среднем получится один треугольник.
Комментарии
Мне показался не совсем убедительным расчет вероятности того, что расстояние между разломами меньше половины длины линейки. Точнее я вообще не увидел этого расчета.
Я бы предложил такой: и точка А относительно центра своей половины (точка АА) и точка Б относительно центра своей (точки ББ) могли оказаться как ближе к точке В так и дальше от нее.
А далее рассмотрим варианты, ну, например, которые нас НЕ устроят:
1) обе точки оказались дальше от центра В чем центры их обломков (АА и ББ). Вероятность этого события 0.5*0.5 = 0.25
2) точка А оказалась дальше от В чем ее центр АА, точка Б ближе к В чем ББ, но Б отступила от ББ дальше чем А от АА. Вероятность этого события 0.5*0.5*0.5 = 0.125
3) точка А оказалась ближе к центру, чем ее центр АА, но точка Б отъехала в сторону от центра В от ББ дальше чем А от АА. Вероятность этого события так же 0.5*0.5*0.5 = 0.125
Суммарная вероятность НЕ устраивающих нас исходов - 0.5.
Аналогично рассчитываются устраивающие нас варианты (их тоже три и так же рассчитываются по положениям и удаленности точек А и Б от центров их обломков АА и ББ).
0) Не ограничивая общности, будем вести речь об отрезке [0, 1]. Необходимое и достаточное условие для составления треугольника - каждая сторона меньше суммы двух других. Назовем получившиеся отрезки (стороны будущего треугольника) левым, правым и средним, сами точки - a < b.
1) Для каждой точки вероятность оказаться слева/справа от середины = 0.5, всего есть четыре варианта размещения относительно середины, вероятность каждого 0.5^2 = 0.25, устраивают два, вероятность устраивающего случая (который эквивалентен тому, что левая и правая стороны меньше суммы двух других, неободимое, но недостаточное условие) равна 0.5
2) Осталось посчитать, что дает требование того, что средняя сторона меньше суммы двух других при условии, что выполнено (1) - оно дополнит проверяемые условия до необходимых и достаточных. (1) в совокупности с исходной договоренностью об обозначениях (ничего не дающей в плане вычислений, так как это просто нумерация точек _после_ их появления) дает нам a < 0.5 < b, что соответствует области 0 < a < 0.5, 0.5 < b < 1 (не стоит смущаться того, что это четверть квадрата [(0, 0), (1, 1)], ведь область всех значений сужена до его половины за счет a < b). Условие того, что средняя сторона меньше суммы двух других, записывается в виде b - a < 0.5 - это прямая, делящая нашу область ровно пополам. Таким образом, вероятность его выполнения также равна 0.5 и по P(XY) = P(X|Y)*P(Y) мы имеем вероятность выполнения всех условий равной 0.5^2 = 0.25
При решении данной задачи должно выполниться два условия: 1)Указка должна разломаться на две части. Вероятность такого события 1/2, потому, что она так разломается или нет.
2)Условие это то что из трех отрезков можно составить треугольник, а из них или можно будет составить треугольник или нет, значит вероятность этого события тоже 1/2.
Значит вероятность и того и другого = 1/4.
одна указка!!!
она ж на три части поломалась....
Почему указка ломается только на 3 части?
даже из 3 не сломанных указок можно собрать треугольник
товарищи математики,найдите пожалуйста тот вариант, где сломав хотя бы 3 указки не выполнилось условие: сумма двух сторон больше третьей? весь ваш расчет где то влечет ошибку!
указка разломалась на 3 части, значит уже можно составить треугольник
"сколько... чтобы из кусков от ОДНОЙ указки получился треугольник"
точно. в задании сказано - куски от одной указки. три куска. три стороны треугольника. сложили и получили.
ответ: одна указка, либо некорректное условие
Коль скоро указка не разбивается на куски нулевой и отрицательной длины (а я надеюсь - это нормальная указка), то мы имеем дело с неотрицательными числами.
Тогда условие треугольника: a+b > c,
где a,b,c - длины.
Вполне может попасться случай: a+b < c, например, если указка сломается так:
-- х ------------- х --
Как ни прилаживай те два маленьких кусочка к центральному длинному, один фиг треугольника не получится - не достанут они друг до друга.
Решение неверное:
1) Чем отличается исход АВБ и БВА, тем что автор назвал разломы разными буквами? - искусственно увеличена вероятность данного исхода в 2 раза (это одно и то же событие - разлом с разных сторон от центра).
2) Где исход Б=В или А=В, или линейка в школе автора посредине не может сломаться? =х===х====
Соответственно есть 5 исходов: АБВ, ВАБ, АВБ (он же БВА), АВ (где Б=В), БВ (где А=В).
Благоприятный только 1 АВБ.
Вероятность 1/5* 1/2 = 0,1 => l0 указок.
1) не согласен что вероятность разлома указки на 3 части так чтобы из нее можно было составить треугольник равна 0,25 т.к. случаи АБВ и АВБ не равновероятностны как утверждает автор.
Без ограничения общности предположим что точка А равномерно распределена на отрезке от [0;1]. А то точка Б на отрезке [А,1]. P(составить треугольник)=P(A<0,5)*P(Б принадлежит [0,5;A+0,5])=0,5*A/(1-A)=0,5*(-0,5-ln0,5)= 0,09657
2) Если вероятность разбить указку нужным образом равна р, это не значит что в среднем понадобиться 1/p указок. Среднее количество указок это математическое ожидания количества экспериментов, а оно ровно, сумма по k от 1 до бесконечности k*(1-p)^(k-1)*p