На какое наибольшее число частей могут разделить пространство поверхности куба и сфера? 

Ответ: Сфера и куб могут делить пространство на части четырех типов:

- часть, находящаяся как вне сферы, так и вне куба. Одна такая часть есть всегда;

- часть, находящаяся как внутри сферы, так и внутри куба. Если такая часть есть, она одна;

- части, находящиеся вне сферы, но внутри куба. Если такие части есть, то в каждую войдет, по крайней мере, один трехгранный угол куба, т.е. их не больше. чем вершин куба (8);

- части, находящиеся вне куба, но внутри сферы. Если куб и сфера пересекаются, то в каждой такой части есть часть грани куба и их число не больше числа граней куба (6).

Итак, число частей не больше, чем 1+1+8+6 = 16. Если шар касается всех ребер куба, то частей ровно 16.