Посмотрите на таблицу:
 1 = 1²
 1 + 3 = 4 = 2²
 1 + 3 + 5 = 9 = 3²
 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²

Может быть, эта закономерность (сумма подряд стоящих нечетных чисел начиная с единицы равна квадрату их числа) сохраняется и дальше? Как это проверить? 

Ответ: Нам нужно найти сумму всех нечетных чисел от 1 до 2n-1 и убедиться, что она равна n². Это можно сделать разными способами. Мы предпочли геометрический. Возьмем квадрат из n² клеток и закрасим клетки так, как это сделано на рисунке для n = 6. Квадрат при этом распадается на чередующиеся по цвету участки. Сосчитаем количество клеток в них, начиная с левого верхнего угла. Первый участок состоит из одной клетки, второй - из трех клеток, третий - из пяти и т. д., последний n-й участок состоит из 2n-1 клеток. Следовательно, число клеток в квадрате равно

1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2n-1

Это убеждает нас, что нужное равенство выполнено всегда.