Один математик был очень удивлен, когда увидел, как его дочка считает пальцы на левой руке. Она считала так: большой палец - раз, указательный - два, средний - три, безымянный - четыре, мизинец - пять, а потом она пошла в обратном порядке: безымянный - шесть, средний - семь и т.д. Таким образом она собиралась досчитать до 1972.

На каком пальце закончится счет?

Шофер, посмотрев на счетчик спидометра своей машины, был поражен. Счетчик показывал число 15951. Количество километров, пройденных машиной, выражалось симметричным числом,то есть таким, которое читалось одинаково как слева направо, так и справа налево: 15951.

- Занятно! - проборматал шофер. - Теперь нескоро, наверное, появится на счетчике другое симметричное число.

Однако ровно через 2 часа счетчик показал новое число, которое тоже в обе стороны читалось одинаково.

Определите, с какой скоростью ехал эти 2 часа шофер?

Два спортсмена, тренируясь, одновременно начали лодочные гонки: один по реке, вниз и вверх по течению на одинаковое расстояние, а другой на такое же расстояние по озеру со стоячей водой. Допустим, что усилия обоих гребцов все время совершенно одинаковы. Кто из спортсменов вернется раньше?

Найдите 9-значное число такое, что:
а) оно содержит каждую из цифр от 1 до 9 по одному разу;
б) числа, образующиеся посредством взятия первых N цифр (для N от 1 до 9), делятся на N без остатка

У жителей планеты Альфа нет ни рук, ни ног, но зато есть несколько щупалец. Жители этой планеты учатся считать не по десятичной системе, как мы, а по некоей другой, в основу которой положено количество щупалец на теле. Однажды на планете произошел следующий разговор:
Космонавт: Я вижу, что на вашей планете семьи очень многочисленные. Не скажете, сколько у вас детей?
Житель планеты: У меня 315 сыновей и 233 дочери. Значит, всего 552 ребенка.

Вопрос: Сколько детей по земному счету у жителя планеты и сколько у него щупалец? 

Самый сильный человек города N-ска должен был поднять штангу. Организаторы состязания попросили зрителей высказать их предположения. Четыре человека назвали следующие числа: 196 кг, 163 кг, 178 кг, и 185 кг. Один предсказатель ошибся на 1 кг, другой - на 6 кг, еще один на 16 кг и еще один - на 17 кг.

Вопрос: На сколько килограмм ошибся человек, предсказавший вес 163 кг? 

Пусть ширина железнодорожной колеи 1,5 метра. Если сделать кольцевую дорогу с постоянным радиусом, то длина внутренней колеи будет меньше наружной на 2*PI*1,5 метров, и какую бы форму мы ни придавали кольцу, если траектория состоит из сопряженных циркульных кривых, разница между внутренней и наружной лентами рельсов всегда будет оставаться 3*PI метров.

Как же сделать такую кольцевую железную дорогу, состоящюю из радиусных кривых, чтобы длины обеих лент рельсов сравнялись?

Три брата не смогли поделить конфеты поровну. Тогда вмешалась мама. Половину конфет старшего брата она разделила поровну между младшим и средним. Затем половину конфет, оказавшихся у среднего брата, она разделила поровну между старшим и младшим. А затем половину конфет, оказавшихся у младшего брата, - поровну между старшим и средним. Теперь у каждого мальчика стало по 16 конфет. Сколько конфет было у каждого мальчика до вмешательства?

На доске выписаны все целые числа от 1 до 1966. Разрешается стереть любые два числа, записав вместо них их разность. Докажите, что многократным повторением такой операции нельзя добиться, чтобы на доске остались только нули. 

[collapse collapsed title=Подсказка 1]Сумма чисел от 1 до 1966 равна 1965 × 983.[/collapse][collapse collapsed title=Подсказка 2]Это нечётное число.[/collapse]